Проверить записанные формулы: \(\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B\); \(b\sin A=a\sin B\); \(\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\); \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\).

Все формулы записаны верно для треугольника со сторонами \(a,b,c\), лежащими напротив углов \(A,B,C\), и радиусом описанной окружности \(R\).

1. Площадь можно выразить через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B\). Равенство следует из того, что обе записи равны площади одного треугольника.
2. Из равенства площадей, после сокращения на \(\frac12c\), получаем \(b\sin A=a\sin B\).
3. Перенося синусы в знаменатели, имеем \(\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\).
4. Запись \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) — теорема синусов.