ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 2 Решение треугольников. Скалярное произведение векторов ВАРИАНТ 1 1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите sin a, cos a, tg a. 2. В треугольнике АВС найдите синус угла С, если АВ-8 см, АС-10 см, В-30°. 3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону а. 4. В треугольнике DBC найдите угол С, если BD=2√7, BC4, CD = 6. 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника с бо- ковой стороной 4 м и углом, противолежащим основанию, равным 30°. 6. Проверьте, перпендикулярны ли векторы: а) (2; 5) и {10; -4} 6) m{3; 1} ил{4; -6).

Задание 1

Давай разберем первый треугольник. Нам даны катеты, прилежащий к углу α равен 4, противолежащий равен 6, гипотенуза равна 8.

Тогда:

• \(\sin \alpha = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\)
• \(\cos \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5\)
• \(\tan \alpha = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\)

Ответ: \(\sin \alpha = 0.75\), \(\cos \alpha = 0.5\), \(\tan \alpha = 1.5\)

Задание 2

Применим теорему синусов:

\(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin C}\)

\(\sin 30^\circ = 0.5\)

\(\frac{10}{0.5} = \frac{8}{\sin C}\)

\(20 = \frac{8}{\sin C}\)

\(\sin C = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4\)

Ответ: \(\sin C = 0.4\)

Задание 3

Применим теорему косинусов:

\(a^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ\)

\(\cos 120^\circ = -0.5\)

\(a^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-0.5)\)

\(a^2 = 100 + 48\)

\(a^2 = 148\)

\(a = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}\)

Ответ: \(a = 2\sqrt{37}\)

Задание 4

Применим теорему косинусов:

\(BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C\)

\((2\sqrt{7})^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos C\)

\(28 = 16 + 36 - 48 \cos C\)

\(28 = 52 - 48 \cos C\)

\(48 \cos C = 52 - 28\)

\(48 \cos C = 24\)

\(\cos C = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}\)

\(C = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\)

Ответ: \(C = 60^\circ\)

Задание 5

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

\(S = \frac{1}{2} a^2 \sin \gamma\), где a - боковая сторона, \(\gamma\) - угол между боковыми сторонами.

В нашем случае: \(a = 4\), \(\gamma = 30^\circ\)

Тогда:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin 30^\circ\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 0.5\)

\(S = 4\)

Ответ: Площадь равна 4 м²

Задание 6

Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы, нужно проверить равенство нулю их скалярного произведения.

а) \(\vec{a} = (2; 5)\), \(\vec{b} = (10; -4)\)

Скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 10 + 5 \cdot (-4) = 20 - 20 = 0\)

Значит, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны.

б) \(\vec{m} = (3; 1)\), \(\vec{n} = (4; -6)\)

Скалярное произведение: \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-6) = 12 - 6 = 6\)

Значит, векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) не перпендикулярны.

Ответ: Векторы а) перпендикулярны, векторы б) не перпендикулярны.

Ты молодец! У тебя всё получится!