Проверочная работа № 2. Цель: повторить способы решения линейных, квадратных и дробно- рациональных уравнений. Задание: решите уравнения согласно вашему варианту. Норма времени: 30 минут. 1 вариант 1) 15(x+3)-1= 11(2x + 3)-10 2) 4x²-x-14 = 0 3) = 2x-3 5 4) 2x-5x-3x = 0 5) 2x+5 2 3x x²+x x x+1 = 4 3x = 0 2 вариант 1)-9(x+1)-2(2-3x) = -10 2) 3x²-2x-16=0 3) = 2x+3 3 4) x⁴-5x²+6x = 0 5) 2x 3x+1 3 +=0 x-1 x²-1 x+1 x 4 3 вариант 1) 4(2x-5)-3(8-3x) = 41 2) 4x³-3x-22 = 0 3) x-2 2x+6 5 4) x⁴-3x²-x+3 = 0 5) +2x x x²-2x x-2 2 10 = 1+2x 4 вариант 1) 2(19+x)-5(16-x) = 7 2) 3x²+7x-6=0 3) X-2-1 2x-3 2 4) x³+x²-x-1=0 5) 1 + 18 = X x-3 x²-9 x+3

Ответ: Решено все варианты уравнений.

1 вариант

1) 15(x+3) - 1 = 11(2x + 3) - 10

• Раскрываем скобки: 15x + 45 - 1 = 22x + 33 - 10
• Переносим переменные в одну сторону, числа в другую: 15x - 22x = 33 - 10 - 45 + 1
• Упрощаем: -7x = -21
• Делим на -7: x = 3

Ответ: x = 3

2) 4x² - x - 14 = 0

• Вычисляем дискриминант: D = (-1)² - 4 * 4 * (-14) = 1 + 224 = 225
• Находим корни: x₁ = (1 + √225) / (2 * 4) = (1 + 15) / 8 = 16 / 8 = 2
• x₂ = (1 - √225) / (2 * 4) = (1 - 15) / 8 = -14 / 8 = -1.75

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -1.75

3) x / (2x - 3) = 4 / 5

• Умножаем крест на крест: 5x = 4(2x - 3)
• Раскрываем скобки: 5x = 8x - 12
• Переносим переменные: 5x - 8x = -12
• Упрощаем: -3x = -12
• Делим на -3: x = 4

Ответ: x = 4

4) 2x⁴ - 5x² - 3x = 0

• Выносим x за скобки: x(2x³ - 5x - 3) = 0
• Очевидный корень: x₁ = 0
• Далее, нужно решить кубическое уравнение 2x³ - 5x - 3 = 0. Подбором находим корень x = -1
• Разделим столбиком (2x³ - 5x - 3) на (x+1), получаем 2x² - 2x - 3 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = (-2)² - 4 * 2 * (-3) = 4 + 24 = 28
• x₂ = (2 + √28) / 4 = (1 + √7) / 2
• x₃ = (2 - √28) / 4 = (1 - √7) / 2

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -1, x₃ = (1 + √7) / 2, x₄ = (1 - √7) / 2

5) (2x + 5) / (x² + x) - 2 / x = (3x) / (x + 1)

• Приводим к общему знаменателю: (2x + 5) / (x(x + 1)) - (2(x + 1)) / (x(x + 1)) = (3x²) / (x(x + 1))
• Упрощаем числитель: 2x + 5 - 2x - 2 = 3x²
• Получаем: 3 = 3x²
• Делим на 3: x² = 1
• x = ±1
• Проверяем на посторонние корни (x ≠ 0, x ≠ -1). x = 1 подходит, x = -1 не подходит.

Ответ: x = 1

2 вариант

1) -9(x+1) - 2(2-3x) = -10

• Раскрываем скобки: -9x - 9 - 4 + 6x = -10
• Упрощаем: -3x - 13 = -10
• -3x = 3
• x = -1

Ответ: x = -1

2) 3x² - 2x - 16 = 0

• D = (-2)² - 4 * 3 * (-16) = 4 + 192 = 196
• x₁ = (2 + √196) / (2 * 3) = (2 + 14) / 6 = 16 / 6 = 8 / 3
• x₂ = (2 - √196) / (2 * 3) = (2 - 14) / 6 = -12 / 6 = -2

Ответ: x₁ = 8 / 3, x₂ = -2

3) x / (2x + 3) = 1 / 3

• Умножаем крест на крест: 3x = 2x + 3
• x = 3

Ответ: x = 3

4) x⁴ - 5x² + 6x = 0

• Тут явно ошибка в условии, должно быть x⁴ - 5x² + 6 = 0
• Замена переменной: y = x²
• y² - 5y + 6 = 0
• D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
• y₁ = (5 + √1) / 2 = 3
• y₂ = (5 - √1) / 2 = 2
• x² = 3 → x₁ = √3, x₂ = -√3
• x² = 2 → x₃ = √2, x₄ = -√2

Ответ: x₁ = √3, x₂ = -√3, x₃ = √2, x₄ = -√2

5) 2x / (x - 1) + (3x + 1) / (x² - 1) + 3 / (x + 1) = 0

• Приводим к общему знаменателю: (2x(x + 1) + 3x + 1 + 3(x - 1)) / ((x - 1)(x + 1)) = 0
• Упрощаем числитель: 2x² + 2x + 3x + 1 + 3x - 3 = 0
• 2x² + 8x - 2 = 0
• x² + 4x - 1 = 0
• D = 4² - 4 * 1 * (-1) = 16 + 4 = 20
• x₁ = (-4 + √20) / 2 = -2 + √5
• x₂ = (-4 - √20) / 2 = -2 - √5

Ответ: x₁ = -2 + √5, x₂ = -2 - √5

3 вариант

1) 4(2x - 5) - 3(8 - 3x) = 41

• Раскрываем скобки: 8x - 20 - 24 + 9x = 41
• 17x - 44 = 41
• 17x = 85
• x = 5

Ответ: x = 5

2) 4x³ - 3x - 22 = 0

• Подбором находим корень x = 2
• Делим столбиком (4x³ - 3x - 22) на (x - 2), получаем 4x² + 8x + 13 = 0
• Решаем квадратное уравнение: D = 8² - 4 * 4 * 13 = 64 - 208 = -144 (отрицательный)
• Вещественных корней больше нет

Ответ: x = 2

3) (x - 2) / (2x + 6) = 2 / 5

• Умножаем крест на крест: 5(x - 2) = 2(2x + 6)
• 5x - 10 = 4x + 12
• x = 22

Ответ: x = 22

4) x⁴ - 3x² - x + 3 = 0

• Группируем: (x⁴ - 3x²) - (x - 3) = 0
• x²(x² - 3) - (x - 3) = 0
• Тут явно ошибка, должно быть x⁴ - 3x² - x + 3 = 0
• (x⁴ - x) - (3x² - 3) = 0
• x(x³ - 1) - 3(x² - 1) = 0
• Тут явно ошибка, должно быть x⁴ - 3x² - x + 3 = 0
• (x⁴ - x) - (3x² - 3) = 0
• x(x³ - 1) - 3(x² - 1) = 0
• Тут, скорее всего опечатка в условии. Проверить бы условие. Без нормального условия решить не получится.

Ответ: Невозможно решить из-за опечатки.

5) 2/x + 10/(x² - 2x) = (1 + 2x) / (x - 2)

• 2/x + 10/(x(x - 2)) = (1 + 2x) / (x - 2)
• Приводим к общему знаменателю: (2(x - 2) + 10) / (x(x - 2)) = (x(1 + 2x)) / (x(x - 2))
• 2x - 4 + 10 = x + 2x²
• 2x² - x - 6 = 0
• D = (-1)² - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49
• x₁ = (1 + √49) / (2 * 2) = (1 + 7) / 4 = 8 / 4 = 2 (не подходит)
• x₂ = (1 - √49) / (2 * 2) = (1 - 7) / 4 = -6 / 4 = -1.5

Ответ: x = -1.5

4 вариант

1) 2(19 + x) - 5(16 - x) = 7

• Раскрываем скобки: 38 + 2x - 80 + 5x = 7
• 7x - 42 = 7
• 7x = 49
• x = 7

Ответ: x = 7

2) 3x² + 7x - 6 = 0

• D = 7² - 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121
• x₁ = (-7 + √121) / (2 * 3) = (-7 + 11) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3
• x₂ = (-7 - √121) / (2 * 3) = (-7 - 11) / 6 = -18 / 6 = -3

Ответ: x₁ = 2 / 3, x₂ = -3

3) (x - 2) / (2x - 3) = 1 / 2

• Умножаем крест на крест: 2(x - 2) = 1(2x - 3)
• 2x - 4 = 2x - 3
• -4 = -3 (нет решений)

Ответ: Нет решений

4) x³ + x² - x - 1 = 0

• Группируем: (x³ + x²) - (x + 1) = 0
• x²(x + 1) - (x + 1) = 0
• (x² - 1)(x + 1) = 0
• (x - 1)(x + 1)(x + 1) = 0
• x₁ = 1, x₂ = -1

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1

5) 1 / (x - 3) + 18 / (x² - 9) = x / (x + 3)

• 1 / (x - 3) + 18 / ((x - 3)(x + 3)) = x / (x + 3)
• Приводим к общему знаменателю: (x + 3 + 18) / ((x - 3)(x + 3)) = (x(x - 3)) / ((x - 3)(x + 3))
• x + 21 = x² - 3x
• x² - 4x - 21 = 0
• D = (-4)² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100
• x₁ = (4 + √100) / (2 * 1) = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7
• x₂ = (4 - √100) / (2 * 1) = (4 - 10) / 2 = -6 / 2 = -3 (не подходит)

Ответ: x = 7