Проверочная работа по теме «Объемы геометрических тел» 1. Объем куба равен 24√3 см³. Найдите его диагональ. 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды? 3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? 4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 8 см описан шар. Найдите радиус шара. 5. Прямоугольная трапеция ABCD (BC || AD и ∠D = 90°) вращается вокруг оси, содержащей сторону ВС. Найдите объем фигуры вращения, если ВС = 6 см, диагональ АС = 8 см и ∠АСВ = 60°.

Здравствуйте, ученик! Сейчас мы с Вами решим эту проверочную работу. Давайте приступим! Задача 1: Объем куба равен \(24\sqrt{3}\) см³. Найдите его диагональ. Решение: 1. Найдем ребро куба \(a\): Объем куба \(V = a^3\), где \(a\) - длина ребра куба. \[ a^3 = 24\sqrt{3} \] \[ a = \sqrt[3]{24\sqrt{3}} = \sqrt[3]{8 \cdot 3 \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \] см. 2. Найдем диагональ куба \(d\): Диагональ куба связана с его ребром формулой \(d = a\sqrt{3}\). \[ d = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \] см. Ответ: Диагональ куба равна 6 см. * Задача 2: В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды? Решение: 1. Площадь основания \(S\): Основание - правильный треугольник, поэтому площадь \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\] \[S = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\] см². 2. Объем пирамиды \(V\): Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота. \[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{45\sqrt{3}}{12} = \frac{15\sqrt{3}}{4}\] см³. Ответ: Объем пирамиды равен \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\) см³. * Задача 3: В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Решение: 1. Сохранение объема жидкости: Объем жидкости остается неизменным при переливании из одного сосуда в другой. Объем цилиндра: \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота. 2. Связь между радиусами и высотами: Пусть \(r_1\) и \(h_1\) - радиус и высота первого цилиндра, \(r_2\) и \(h_2\) - радиус и высота второго цилиндра. По условию, диаметр второго цилиндра в 3 раза больше, чем первого, следовательно, радиус также в 3 раза больше: \[r_2 = 3r_1\] Объемы должны быть равны: \[\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2\] \[r_1^2 h_1 = (3r_1)^2 h_2\] \[r_1^2 h_1 = 9r_1^2 h_2\] \[h_1 = 9h_2\] \[h_2 = \frac{h_1}{9}\] 3. Высота во втором сосуде: Так как \(h_1 = 27\) см, то \[h_2 = \frac{27}{9} = 3\] см. Ответ: Уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 3 см. * Задача 4: Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 8 см описан шар. Найдите радиус шара. Решение: 1. Определение радиуса описанного шара: Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, можно найти по формуле: \[R = \sqrt{\frac{h^2}{4} + \frac{a^2}{3}}\] где \(h\) — высота пирамиды, \(a\) — сторона основания. 2. Подстановка значений: \[R = \sqrt{\frac{8^2}{4} + \frac{6^2}{3}} = \sqrt{\frac{64}{4} + \frac{36}{3}} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\] Ответ: Радиус описанного шара равен \(2\sqrt{7}\) см. * Задача 5: Прямоугольная трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\) и \(\angle D = 90^\circ\)) вращается вокруг оси, содержащей сторону \(BC\). Найдите объем фигуры вращения, если \(BC = 6\) см, диагональ \(AC = 8\) см и \(\angle ACB = 60^\circ\). Решение: 1. Определение геометрии фигуры вращения: При вращении прямоугольной трапеции \(ABCD\) вокруг стороны \(BC\) получается цилиндр с вырезанным из него конусом. 2. Нахождение параметров цилиндра и конуса: - Радиус цилиндра и конуса \(r = AB\). - Высота цилиндра \(h_1 = BC = 6\) см. - Высота конуса \(h_2 = AD - BC\). 3. Нахождение \(AB\): Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \[\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}\] \[AB = AC \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\] см. 4. Нахождение \(AD\): Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \[\cos(\angle ACB) = \frac{BC}{AC}\] \[CB = AC \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\] см. Так как \(BC = 6\) см, то разница \(CD = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \], тогда \(AD = BC + CD = 6+2=10\). Тогда \(CD = 2\) см \[AD = BC + CD = 6 + 4 = 10\] см. 5. Нахождение высоты конуса \(h_2\): \[h_2 = AD - BC = 10 - 6 = 4\] см. 6. Вычисление объема цилиндра \(V_\text{цил}\): \[V_\text{цил} = \pi r^2 h_1 = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 3 \cdot 6 = 288\pi\] см³. 7. Вычисление объема конуса \(V_\text{кон}\): \[V_\text{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 \cdot 4 = 64\pi\] см³. 8. Вычисление объема фигуры вращения \(V\): \[V = V_\text{цил} - V_\text{кон} = 288\pi - 64\pi = 224\pi\] см³. Ответ: Объем фигуры вращения равен \(224\pi\) см³.

Ответ: 6, 15√3/4, 3, 2√7, 224π

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Не останавливайся на достигнутом и продолжай в том же духе! У тебя все получится! Дальше - больше!