Проверочная работа по теме: «Призма. Пирамида» 1 - вариант 1. ABCABC1 – правильная призма. АВ = 20 см, АА₁ = 15 см. Найдите площадь треугольника А В1С1. 2. ABCDA1B1C1D1 – правильная призма, угол между диагональю В₁D и плоскостью ABCD равен 60°, длина АВ = 8 см. Найдите длину диагонали В₁D и площадь полной поверхности призмы. 3. SABCD – правильная пирамида. Высота SO = 6 см, апофема – 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 1

1. ABCABC₁ – правильная призма. АВ = 20 см, АА₁ = 15 см. Найдите площадь треугольника АB₁C₁.

Площадь треугольника AB₁C₁ найдем по формуле Герона, предварительно вычислив длины сторон AB₁, B₁C₁ и AC₁.

Шаг 1: Найдем длину AB₁.

AB₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABB₁. По теореме Пифагора:

\[AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

Шаг 2: Найдем длину B₁C₁.

Так как ABCABC₁ – правильная призма, то B₁C₁ = AC = AB = 20 см.

Шаг 3: Найдем длину AC₁.

AC₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ACC₁. По теореме Пифагора:

\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

Шаг 4: Вычислим полупериметр p треугольника AB₁C₁.

\[p = \frac{AB_1 + B_1C_1 + AC_1}{2} = \frac{25 + 20 + 25}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см}\]

Шаг 5: Вычислим площадь треугольника AB₁C₁ по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p - AB_1)(p - B_1C_1)(p - AC_1)} = \sqrt{35(35 - 25)(35 - 20)(35 - 25)} = \sqrt{35 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 10} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 100} = 10\sqrt{35 \cdot 15} = 10\sqrt{525} = 10 \cdot 5\sqrt{21} = 50\sqrt{21} \text{ см}^2\]

Задание 2

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная призма, угол между диагональю B₁D и плоскостью ABCD равен 60°, длина AB = 8 см. Найдите длину диагонали B₁D и площадь полной поверхности призмы.

Шаг 1: Найдем длину диагонали BD.

Так как ABCD – квадрат, то BD = AB√2 = 8√2 см.

Шаг 2: Найдем длину B₁D.

B₁D образует угол 60° с плоскостью ABCD, значит, угол B₁DB = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₁BD:

\[\tan(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{BD}\]

\[BB_1 = BD \cdot \tan(60^\circ) = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{6} \text{ см}\]

Тогда, по теореме Пифагора:

\[B_1D = \sqrt{BD^2 + BB_1^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{6})^2} = \sqrt{128 + 384} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \text{ см}\]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы состоит из двух площадей основания и площади боковой поверхности:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\]

Площадь основания (квадрата):

\[S_{осн} = AB^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = P \cdot BB_1 = 4AB \cdot BB_1 = 4 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{6} = 256\sqrt{6} \text{ см}^2\]

Тогда площадь полной поверхности:

\[S_{полн} = 2 \cdot 64 + 256\sqrt{6} = 128 + 256\sqrt{6} \text{ см}^2\]

Задание 3

3. SABCD – правильная пирамида. Высота SO = 6 см, апофема – 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Шаг 1: Найдем сторону основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, апофемой и половиной стороны основания. Пусть сторона основания равна a.

Тогда:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + SO^2 = \text{апофема}^2\]

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\]

\[\frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8\]

\[a = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}\]

Шаг 2: Найдем площадь основания.

\[S_{осн} = a^2 = 16^2 = 256 \text{ см}^2\]

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна полупериметру основания, умноженному на апофему:

\[S_{бок} = \frac{1}{2}P \cdot \text{апофема} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \text{апофема} = 2a \cdot \text{апофема} = 2 \cdot 16 \cdot 10 = 320 \text{ см}^2\]

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 256 + 320 = 576 \text{ см}^2\]

Ответ:

1. S = 50√21 см²

2. B₁D = 16√2 см, S = 128 + 256√6 см²

3. S = 576 см²