Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПроверочная работа «Прямые и плоскости в пространстве» Вариант 4 Задача 1. Сделайте чертёж и решите задачу. Диагональ квадрата ABCD равна 10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, ∠ABM = 60°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD. Задача 2. Сделайте чертёж и решите задачу. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 измерения равны 5, 7 и √47. Найдите
Ответ:
Задача 1
Пусть дан квадрат ABCD, диагональ которого AC = 10 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата, и угол ABM = 60°. Нужно найти расстояние от точки M до прямой BD.
- Найдем сторону квадрата.
Диагональ квадрата связана со стороной a соотношением: \[AC = a\sqrt{2}\] Тогда: \[a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\]
- Найдем высоту AM.
В прямоугольном треугольнике ABM: \[\tan(\angle ABM) = \frac{AM}{AB}\] \[AM = AB \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}\]
- Найдем расстояние от точки M до прямой BD.
Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда AO = \(\frac{1}{2}AC\) = 5 см. Так как AM перпендикулярна плоскости квадрата, то MO перпендикулярна BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. MO = \[\sqrt{AM^2 + AO^2} = \sqrt{(5\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{150 + 25} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\]
Ответ: расстояние от точки M до прямой BD равно \(5\sqrt{7}\) см.
Задача 2
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с измерениями AB = 5, BC = 7, AA1 = \(\sqrt{47}\). Нужно найти:
- Диагональ основания AC.
- Диагональ боковой грани BC1.
- Диагональ параллелепипеда AC1.
- Найдем диагональ основания AC.
В прямоугольном треугольнике ABC: \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\]
- Найдем диагональ боковой грани BC1.
В прямоугольном треугольнике BCC1: \[BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{7^2 + (\sqrt{47})^2} = \sqrt{49 + 47} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\]
- Найдем диагональ параллелепипеда AC1.
В прямоугольном треугольнике ACC1: \[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{74})^2 + (\sqrt{47})^2} = \sqrt{74 + 47} = \sqrt{121} = 11\]
Ответы: \(AC = \sqrt{74}\), \(BC_1 = 4\sqrt{6}\), \(AC_1 = 11\).
