17.04.26. Проверочная работа. Уеника 7 Вариант 2 1. Диаметр окружности равен 18см, расстояние от ее центра до прямой равно 8 см. Определите взаимное расположение окружности и прямой. Изобразите эту ситуацию. 2. Дана прямая а и окружность (O; R). Расстояние от точки О до прямой равно д. Запишите условие того, что прямая касается окружности. 3. Проведите окружность данного радиуса, которая касается данной прямой в данной на ней точке. 4. Докажите, что перпендикуляр к касательной в точке касания с окружностью проходит через центр окружности. 5. Укажите внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечно много равных между собой хорд. 6. Окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через ее центр. Докажите, что хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны. 7. Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам. 8. В окружности проведены три равные хорды, одна из которых удалена от центра на 3 см. На каком расстоянии находятся от центра две другие хорды?

Задание 1

Диаметр окружности равен 18 см, следовательно, радиус равен половине диаметра: \( R = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Расстояние от центра окружности до прямой равно 8 см, что меньше радиуса (9 см). Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.

Задание 2

Прямая касается окружности, если расстояние от центра окружности (точки O) до прямой (d) равно радиусу окружности (R). Условие: \( d = R \).

Задание 3

Для построения окружности заданного радиуса, касающейся данной прямой в данной на ней точке, нужно:

• Отметьте точку на прямой, в которой окружность должна касаться этой прямой.
• Постройте перпендикуляр к прямой в этой точке.
• Отложите на перпендикуляре отрезок, равный радиусу окружности. Конец этого отрезка будет центром окружности.
• Проведите окружность с центром в полученной точке и радиусом, равным заданному.

Задание 4

Доказательство того, что перпендикуляр к касательной в точке касания с окружностью проходит через центр окружности:

• Предположим, что перпендикуляр к касательной в точке касания не проходит через центр окружности.
• Тогда центр окружности находится на некотором расстоянии от этого перпендикуляра.
• В этом случае, расстояние от центра до точки касания (радиус) не будет перпендикулярно касательной, что противоречит определению касательной к окружности.
• Следовательно, перпендикуляр к касательной в точке касания обязательно проходит через центр окружности.

Задание 5

Внутри окружности, через любую точку, отличную от центра, можно провести бесконечно много хорд. Точка, через которую проходят все эти хорды, должна быть внутри окружности, но не в центре.

Задание 6

Доказательство того, что хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны:

• Пусть окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через ее центр.
• Точки пересечения этих прямых с окружностью попарно образуют диаметры окружности.
• Диаметры окружности равны, а значит, и хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения, также равны.

Задание 7

Доказательство того, что диаметр, проходящий через точку, из которой проведены две равные хорды, делит угол между хордами пополам:

• Пусть из точки на окружности проведены две равные хорды.
• Рассмотрим треугольник, образованный этими хордами и диаметром, проходящим через эту точку.
• Так как хорды равны, треугольник равнобедренный.
• Диаметр, проходящий через вершину равнобедренного треугольника, является его высотой и медианой, а значит, и биссектрисой угла при вершине.
• Следовательно, диаметр делит угол между хордами пополам.

Задание 8

В окружности проведены три равные хорды, одна из которых удалена от центра на 3 см. Так как равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра, две другие хорды также удалены от центра на 3 см.

Ответ: 3 см