476 Проверьте равенства: 11 1 35 = 1 ( 1 - 1 ) 2 3 5 11 = 1 . ( 1 - 1 57 2 5 7 ) 11 = 1 ( 1 - 1 79 2 7 9 и т. д. Используя эти равенства, докажите: 1 + 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 1 + 1 . 1 + 1 = 2 35 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 15

Привет! Разберёмся с этим математическим заданием. Тут нужно доказать равенство, используя предоставленные равенства. Логика такая: каждое слагаемое в сумме можно представить как разность двух дробей, а затем упростить выражение.

Итак, приступим:

Нам нужно доказать, что

\[\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}\]

Используем равенства из условия:

\(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})\), \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})\) и так далее.

Подставим эти выражения в нашу сумму:

\(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15})\)

Вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобки:

\(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15})\)

Заметим, что многие слагаемые сокращаются:

\(\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{15})\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{1}{15})\)

Вычислим разность:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15}\)

Упростим:

\(\frac{2}{15}\)

Таким образом, мы доказали, что:

\(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}\)

Ответ: \(\frac{2}{15}\)

Проверка за 10 секунд: Представили каждое слагаемое в виде разности дробей, сократили и получили \(\frac{2}{15}\).

Доп. профит: Запомни, что такие суммы часто упрощаются благодаря сокращению слагаемых!