Проводится серия из n испытаний Бернулли. Выразите число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению более n − 4 успехов.

Решение:

Задачей является подсчёт числа элементарных событий, при которых в серии из \( n \) испытаний Бернулли число успехов будет больше \( n - 4 \). Это означает, что число успехов \( k \) должно удовлетворять условию \( k > n - 4 \).

Поскольку \( k \) — это число успехов в \( n \) испытаниях, \( k \) может принимать целые значения от \( 0 \) до \( n \). Таким образом, условие \( k > n - 4 \) означает, что \( k \) может быть равно \( n - 3 \), \( n - 2 \), \( n - 1 \), \( n \).

Число элементарных событий, благоприятствующих появлению ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях Бернулли, равно числу сочетаний \( C_n^k \).

Следовательно, число элементарных событий, благоприятствующих появлению более \( n - 4 \) успехов, равно сумме чисел сочетаний для \( k = n-3, n-2, n-1, n \):

• Для \( k = n-3 \): \( C_n^{n-3} \)
• Для \( k = n-2 \): \( C_n^{n-2} \)
• Для \( k = n-1 \): \( C_n^{n-1} \)
• Для \( k = n \): \( C_n^n \)

Общее число благоприятных исходов равно:

\( C_n^{n-3} + C_n^{n-2} + C_n^{n-1} + C_n^n \)

Используя свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \), мы можем переписать это как:

\( C_n^3 + C_n^2 + C_n^1 + C_n^0 \)

Сравним полученное выражение с предложенными вариантами:

1. \( C_n^4 \) — не подходит.
2. \( C_n^{n-4} \) — не подходит.
3. \( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 \) — подходит, так как \( C_n^3 = C_n^{n-3} \), \( C_n^2 = C_n^{n-2} \), \( C_n^1 = C_n^{n-1} \), \( C_n^0 = C_n^n \) (при \( n ≥ 3 \)).
4. \( C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 \) — не подходит.
5. \( C_n^{n-3} + C_n^{n-2} + C_n^{n-1} + C_n^n \) — подходит.
6. \( C_n^{n-4} + C_n^{n-3} + C_n^{n-2} + C_n^{n-1} \) — не подходит.

Согласно выбранному варианту 3, это сумма сочетаний от \( 0 \) до \( 3 \).

Согласно выбранному варианту 5, это сумма сочетаний от \( n-3 \) до \( n \).

Оба варианта 3 и 5 выражают одно и то же математическое значение. Поскольку вариант 3 выбран как верный, будем использовать его.

Примечание: При \( n < 4 \) количество успехов \( k \) может быть меньше \( n-4 \), но условие \( k > n-4 \) означает, что мы рассматриваем события, где успехов больше, чем \( n-4 \).

Если \( n = 4 \), то \( k > 0 \), то есть \( k = 1, 2, 3, 4 \). Сумма \( C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 = 1 + 4 + 6 + 4 = 15 \). Всего исходов \( 2^4 = 16 \). Исключение \( C_4^4 = 1 \).

Если \( n = 5 \), то \( k > 1 \), то есть \( k = 2, 3, 4, 5 \). Сумма \( C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 \). Всего исходов \( 2^5 = 32 \). Исключение \( C_5^0 + C_5^1 = 1 + 5 = 6 \).

Вариант 3: \( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 \). Это суммирует число благоприятных исходов для \( k=0, 1, 2, 3 \) успехов.

Нам нужно число успехов \( k > n-4 \), то есть \( k \) может быть \( n-3, n-2, n-1, n \).

Таким образом, правильный ответ — это сумма \( C_n^{n-3} + C_n^{n-2} + C_n^{n-1} + C_n^n \). Используя свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \), это равно \( C_n^3 + C_n^2 + C_n^1 + C_n^0 \). Этот вариант представлен под номером 3.

Ответ: 3