17. Прямая ΜΝ – общая внутренняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 5 см, Μ и Ν – точки касания (рис. 347). Расстояние между центрами окружностей равно 10 см. Найдите длину отрезка MN.

Пошаговое решение:

• Проведём радиусы в точки касания M и N. Тогда O₁M ⊥ MN и O₂N ⊥ MN.
• Проведём O₁K ∥ MN, где K лежит на O₂N. Тогда O₁K = MN и O₂K = O₂N - KN = O₂N - O₁M = 5 - 3 = 2 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁KO₂. В нём O₁O₂ = 10 см (расстояние между центрами), O₂K = 2 см.
• По теореме Пифагора найдём O₁K: O₁K² = O₁O₂² - O₂K² = 10² - 2² = 100 - 4 = 96.
• Значит, O₁K = √96 = √(16 * 6) = 4√6 см.
• Так как O₁K = MN, то MN = 4√6 см.

Ответ: 4√6 см.