Прямая a пересекает стороны угла A в точках P и Q. Могут ли обе прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой a?

Нет, обе прямые AP и AQ не могут быть перпендикулярными к прямой a. Если прямая a пересекает стороны угла A в точках P и Q, то точки A, P и Q не лежат на одной прямой. Если бы обе прямые AP и AQ были перпендикулярны к прямой a, то прямые AP и AQ совпадали бы, а это означало бы, что точки A, P и Q лежат на одной прямой, что противоречит условию.