Прямая AB касается окружности с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Решение:

• Пусть OB и OC — радиусы, проведённые в точки касания B и C. Тогда OB = OC = 4,5 см.
• Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то ∠OBA = ∠OCA = 90°.
• Рассмотрим четырёхугольник OBAC. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, следовательно, ∠BOC = 360° - ∠OBA - ∠OCA - ∠BAC.
• Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠BOC = 360° - 90° - 90° - α = 180° - α.
• Рассмотрим треугольник OBA. В нём sin(∠BAO) = OB / OA = 4,5 / 9 = 1/2. Следовательно, ∠BAO = 30°.
• Аналогично, в треугольнике OCA ∠CAO = 30°.
• Тогда ∠BAC = ∠BAO + ∠CAO = 30° + 30° = 60°.

Ответ: 60°