Прямая AB проходит через центр O окружности с радиусом OC; ∠BAC = ∠ABC = 30°. Докажите, что прямая AC — касательная к данной окружности.

Дано:

• Прямая AB проходит через центр O окружности.
• OC — радиус окружности.
• ∠BAC = 30°.
• ∠ABC = 30°.

Доказать: Прямая AC — касательная к данной окружности.

Доказательство:

1. В треугольнике BOC:
   OB и OC — радиусы окружности, следовательно, OB = OC.
   Треугольник BOC — равнобедренный.
   ∠OBC = 30° (дано).
   ∠OCB = ∠OBC = 30° (как углы при основании равнобедренного треугольника).
2. Угол AOC:
   ∠AOC — внешний угол треугольника BOC.
   ∠AOC = ∠OBC + ∠OCB = 30° + 30° = 60°.
3. В треугольнике AOC:
   ∠AOC = 60°.
   ∠BAC = 30° (дано).
   Сумма углов в треугольнике AOC: ∠AOC + ∠BAC + ∠ACO = 180°.
   60° + 30° + ∠ACO = 180°.
   90° + ∠ACO = 180°.
   ∠ACO = 180° - 90° = 90°.
4. Вывод:
   Так как ∠ACO = 90°, то есть радиус OC перпендикулярен прямой AC в точке C, то прямая AC является касательной к окружности.

Что и требовалось доказать.