Прямая AC – касательная к окружности, AB – хорда этой окружности, O – центр окружности (см. рис.). Докажите, что \(\angle CAB\) в два раза меньше \(\angle BOA\).

Пусть \(\angle CAB = \alpha\). 1. \(OA = OB\) как радиусы, следовательно, треугольник \(\triangle AOB\) равнобедренный, и \(\angle OAB = \angle OBA\). 2. \(AC\) – касательная к окружности, поэтому \(\angle OAC = 90^\circ\). 3. \(\angle OAB = \angle OAC - \angle CAB = 90^\circ - \alpha\). 4. Сумма углов в треугольнике \(\triangle AOB\) равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA\). Так как \(\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ - \alpha\), то \(\angle AOB = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) = 180^\circ - 180^\circ + 2\alpha = 2\alpha\). Таким образом, \(\angle BOA = 2\alpha = 2 \cdot \angle CAB\), что и требовалось доказать.