Прямая AD перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника АВС. Через центр треугольника, точку О, проведена прямая ОМ, параллельная прямой AD. Найдите длину отрезка DM, учитывая, что отрезок DM не пересекает плоскость треугольника и АВ = 16√3 см, ОМ = 4 см, AD = 16 см.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ADOM. MO || AD, значит, ADOM - трапеция. ∠DAO = 90°, значит, ADOM - прямоугольная трапеция.

Проведем отрезок MP || АО. Рассмотрим ΔDMP. ∠DPM = 90°, значит, ΔDMP - прямоугольный.

Найдем DP: DP = AD - AM, т.к. AM = OM, то DP = 16 - 4 = 12 см.

Найдем АО. АО - радиус описанной окружности около ΔABC.

$$AO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 \text{ см}$$.

MP = AO = 16 см.

По теореме Пифагора:

$$DM = \sqrt{DP^2 + MP^2}$$.

$$DM = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$.

Ответ: 20 см