148 Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ⊥ ВС.

Для решения данной задачи необходимо использовать знания геометрии, а именно:

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости: прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2. Теорема о трех перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и наклонная перпендикулярна этой прямой.

Доказательство:

1. Так как АК перпендикулярна плоскости АВС, то АК перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в частности, прямой ВС.

2. Треугольник АВС – правильный, значит, АВ = АС и ∠АВС = ∠АСВ.

3. Точка М – середина ВС, следовательно, АМ – медиана треугольника АВС. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, АМ перпендикулярна ВС.

4. Рассмотрим прямую ВС и плоскость, содержащую точки А, К и М. В этой плоскости лежат прямые АК и АМ, перпендикулярные прямой ВС.

5. АМ является проекцией прямой МК на плоскость АВС. Так как АМ перпендикулярна ВС, то по теореме о трех перпендикулярах, МК также перпендикулярна ВС.

Ответ: МК перпендикулярна ВС, что и требовалось доказать.