Прямая АВ касается окружности с центром в точке О радиуса r в точке В. Найдите АО (в см), если известно, что ∠OAB = 30°, r = 4, 7 см.

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачей.

Дано:

• Прямая AB касается окружности в точке B.
• Центр окружности — точка O.
• Радиус окружности r = 4,7 см.
• Угол ∠OAB = 30°.

Найти: Длину отрезка AO.

Решение:

1. Свойство касательной: Прямая, касательная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что угол между радиусом OB и касательной AB равен 90°. То есть, ∠OBA = 90°.
2. Треугольник: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ΔOBA, где угол ∠OBA — прямой.
3. Тригонометрия: В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения. Нам известен угол ∠OAB и противолежащий ему катет OB (это радиус окружности). Нам нужно найти гипотенузу AO.
4. Синус: Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом дает синус:
   

   \[ \sin(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} \]

5. Подставляем значения: Мы знаем, что ∠OAB = 30° и OB = r = 4,7 см.
   

   \[ \sin(30°) = \frac{4,7}{AO} \]

6. Значение синуса: Синус 30° равен 0,5 (или 1/2).
   

   \[ 0,5 = \frac{4,7}{AO} \]

7. Находим AO: Чтобы найти AO, нужно разделить длину катета OB на значение синуса.
   

   \[ AO = \frac{4,7}{0,5} \]

   
   

   \[ AO = 9,4 \]

Ответ: 9,4 см