Прямая BE касается окружности с центром в точке O в точке B. Найдите угол PBE, если \(\angle AOB = 142^\circ\).

Так как BE - касательная, то \(\angle OBE = 90^\circ\). Угол \(\angle AOB\) - центральный, и опирается на дугу AB. Вписанный угол \(\angle ACB\) опирается на ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB\). Подставим значение \(\angle AOB = 142^\circ\): \(\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ\). Угол \(\angle ACB\) опирается на дугу AB. Угол между касательной и хордой (\(\angle PBE\)) равен половине дуги, заключенной между ними. Значит, \(\angle PBE = \angle ACB\). Следовательно, \(\angle PBE = 71^\circ\). Ответ: \(\angle PBE = 71^\circ\).