Решение

1. Так как треугольник ABC правильный, то все его стороны равны. Значит, AC = BC = AB = $$16\sqrt{3}$$ см.

2. O - центр правильного треугольника ABC, следовательно, AO и BO – это радиусы описанной окружности.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где a – сторона треугольника.

Тогда $$AO = BO = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16$$ см.

3. Прямая CD перпендикулярна плоскости ABC, значит, треугольники ADC и BDC – прямоугольные.

$$AD = BD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 16^2} = \sqrt{16^2 \cdot 3 + 16^2} = \sqrt{16^2 \cdot 4} = 16 \cdot 2 = 32$$ см.

4. Так как прямая ОК параллельна прямой CD, а CD перпендикулярна плоскости ABC, то и ОК перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, треугольники AOK и BOK – прямоугольные.

$$AK = BK = \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$ см.

Ответ: AD = BD = 32 см, AK = BK = 20 см.