Прямая CD проходит через вершину треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. Точки E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Так как точки E и F — середины сторон AB и BC треугольника ABC, то по теореме о средней линии треугольника

\[EF \parallel AC.\]

Прямая EF лежит в плоскости ABC. Прямая CD проходит через точку C, но не лежит в плоскости ABC, поэтому она пересекает эту плоскость только в точке C. При этом точка C не принадлежит прямой EF, поскольку EF \(\parallel\) AC.

Следовательно, прямые CD и EF не пересекаются. Они также не могут быть параллельными: прямая CD пересекает плоскость ABC, а EF лежит в этой плоскости. Значит, прямые CD и EF — скрещивающиеся.

б) Угол между прямыми CD и EF равен углу между прямыми CD и AC, так как \(EF \parallel AC\).

По условию \(\angle DCA = 60^\circ\). Следовательно,

\[\angle(CD,EF)=\angle DCA=60^\circ.\]

Ответ: а) CD и EF — скрещивающиеся прямые; б) \(60^\circ\).