Прямая и обратная пропорциональности: способы задания, свойства. Решите текстовые задачи арифметическим способом. Изобразите вспомогательную модель для каждой задачи.

Решение:

1. Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой при увеличении одной величины другая увеличивается во столько же раз, во сколько увеличилась первая (или при уменьшении одной величины другая уменьшается во столько же раз). Способы задания: формула \( y = kx \) (где \( k \) — коэффициент пропорциональности, \( k \neq 0 \)); график — прямая, проходящая через начало координат; таблица.
2. Обратная пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз, во сколько увеличилась первая. Способы задания: формула \( y = \frac{k}{x} \) (где \( k \) — коэффициент пропорциональности, \( k \neq 0 \)); график — гипербола; таблица.
3. Решение задачи 1:
   • Условие: В 2 «Б» классе 28 учеников, из которых 8 человек — троечники. Известно, что отличники составляют 3/7 учащихся класса. Найти, сколько всего хорошистов учится во 2 «Б» классе, если двоечников в классе нет.
   • Вспомогательная модель:

   Категория	Количество
   Всего учеников	28
   Троечники	8
   Отличники (3/7 от 28)	\(\frac{3}{7} \times 28 = 12\)
   Хорошисты	\( 28 - 8 - 12 = 8 \)

4. Решение задачи 2:
   • Условие: У Кати и Жени 20 марок, но у Жени на 6 марок больше, чем у Кати. Сколько марок у Кати? Сколько марок у Жени?
   • Вспомогательная модель:

   Имя	Количество марок
   Катя	\( x \)
   Женя	\( x + 6 \)
   Всего	20

   Решение:

   1. \( x + (x + 6) = 20 \)
   2. \( 2x + 6 = 20 \)
   3. \( 2x = 14 \)
   4. \( x = 7 \) (марок у Кати)
   5. \( x + 6 = 7 + 6 = 13 \) (марок у Жени)
5. Решение задачи 3:
   • Условие: Число 48 представьте в виде суммы двух чисел так, чтобы одно из них было в 5 раз больше другого.
   • Вспомогательная модель:

   Число 1	Число 2
   \( x \)	\( 5x \)
   \( x + 5x = 48 \)

   Решение:

   1. \( x + 5x = 48 \)
   2. \( 6x = 48 \)
   3. \( x = 8 \)
   4. \( 5x = 5 \times 8 = 40 \)
6. Решение задачи 4:
   • Условие: Сумма двух чисел равна 24, а разность равна 2. Найдите эти числа.
   • Вспомогательная модель:

   Число 1	Число 2
   \( x \)	\( y \)
   \( x + y = 24 \)	\( x - y = 2 \)

   Решение:

   1. Сложим два уравнения: \( (x + y) + (x - y) = 24 + 2 \)
   2. \( 2x = 26 \)
   3. \( x = 13 \)
   4. Подставим \( x = 13 \) в первое уравнение: \( 13 + y = 24 \)
   5. \( y = 24 - 13 = 11 \)

Ответ: Хорошистов — 8; у Кати — 7 марок, у Жени — 13 марок; числа 8 и 40; числа 13 и 11.