5. Прямая М№ пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ми № соответственно так, что ВС = 2MB, AB = 2NB, MB: NB=3:5. Найти: а) РАВС: PNBM; 6) SABC: SNBM; B) MN : AC

a) Найдем отношение периметров треугольников ABC и NBM.

По условию, \(BC = 2MB\) и \(AB = 2NB\), следовательно, \(MB = \frac{1}{2}BC\) и \(NB = \frac{1}{2}AB\).

Также дано, что \(\frac{MB}{NB} = \frac{3}{5}\). Подставим известные значения: \(\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AB} = \frac{3}{5}\), следовательно, \(\frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\).

Треугольники ABC и NBM подобны по двум сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\).

Периметр треугольника ABC: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\).

Периметр треугольника NBM: \(P_{NBM} = NB + MB + MN\).

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \(\frac{P_{ABC}}{P_{NBM}} = 2\).

б) Найдем отношение площадей треугольников ABC и NBM.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{ABC}}{S_{NBM}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).

в) Найдем отношение MN : AC.

Поскольку треугольники ABC и NBM подобны с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\), то \(\frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}\).

Ответ: а) \(P_{ABC} : P_{NBM} = 2\); б) \(S_{ABC} : S_{NBM} = 4\); в) \(MN : AC = \frac{1}{2}\)