Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Найти угол между прямой МВ и плоскостью АВС (рис. 3-6).

Рассмотрим предложенные задачи:

1. Дано: MA ⊥ α, MA = 10, AB = 5.

   Найти: ∠MBA.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике МАВ tg ∠MBA = MA/AB = 10/5 = 2.

   ∠MBA = arctg 2

   Ответ: arctg 2

2. Дано: MA ⊥ α, MA = 5√3, AB = 5.

   Найти: ∠MBA.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике МАВ tg ∠MBA = MA/AB = (5√3)/5 = √3.

   ∠MBA = 60°

   Ответ: 60°

3. Дано: MA ⊥ α, MB = 4√2, AB = 8, ∠ACB = 30°.

   Найти: ∠MBA.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике МАВ sin ∠MBA = MA/MB.

   По теореме Пифагора MA = √(MB² - AB²) = √((4√2)² - 8²) = √(32 - 64) - не имеет смысла, т.к. АВ > МВ.

   Ошибка в условии. Задача не имеет решения.

   Ответ: нет решения

4. Дано: MA ⊥ α, MC = 4, CB = 6, ∠ACB = 120°, AC = AB.

   Найти: ∠MBA.

   Решение:

   По теореме косинусов AB² = AC² + BC² - 2*AC*BC*cos ∠ACB = AC² + 6² - 2*AC*6*cos 120° = AC² + 36 - 12*AC*(-1/2) = AC² + 6AC + 36.

   AC = AB, следовательно, AC² = AC² + 6AC + 36.

   0 = 6AC + 36.

   AC = -6 - не имеет смысла, т.к. сторона треугольника не может быть отрицательной.

   Ошибка в условии. Задача не имеет решения.

   Ответ: нет решения

5. Дано: MA ⊥ α, ACBD - квадрат.

   Найти: ∠MBA.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике МАВ tg ∠MBA = MA/AB.

   Т.к. ACBD - квадрат, то AB = AC, а MA = AC, следовательно, MA = AB.

   tg ∠MBA = MA/AB = 1.

   ∠MBA = 45°

   Ответ: 45°