Прямая МК касается окружности с центром О в точке К. Хорда LK длиной 21 пересекает отрезок МО длиной 14 в точке N и делит его пополам. Найдите длину отрезка LN.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Прямая МК — касательная в точке К.
• LK = 21 — хорда.
• MO = 14.
• N — точка пересечения LK и MO.
• LN = NK (N делит хорду LK пополам).
• MN = NO (N делит отрезок MO пополам).

Найти: LN

Решение:

1. Свойство касательной и хорды: Угол между касательной МК и хордой LK равен половине дуги, стягиваемой хордой LK.
2. Свойство центрального угла: Центральный угол ∠LOK равен величине дуги LK.
3. По условию: N делит хорду LK пополам, значит, LN = NK = 21 / 2 = 10.5.
4. По условию: N делит отрезок MO пополам, значит, MN = NO = 14 / 2 = 7.
5. Рассмотрим треугольник LOK: OK и OL — радиусы окружности, значит, ΔLOK — равнобедренный.
6. Рассмотрим треугольник MON и LON:
• MN = NO = 7 (по условию).
• LN = NK = 10.5 (по условию).
• Угол ∠MNK равен углу ∠LNO (вертикальные углы).
7. Признак равенства треугольников: По двум сторонам и углу между ними (СУС), ΔMNK равен ΔLNO.
8. Следовательно: MK = LO.
9. Вспомним свойство касательной: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, OK ⊥ MK.
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник MKO:
• OK — радиус окружности.
• MO = 14.
• MK = ?
11. Теорема Пифагора: MK² + OK² = MO²
12. MK² + R² = 14²
13. Рассмотрим прямоугольный треугольник LNK:
• LN = 10.5
• NK = 10.5
• LK = 21
14. В прямоугольном треугольнике MKO: MK = √(14² - R²)
15. В прямоугольном треугольнике LNK: LN = 10.5
16. Из равенства треугольников MNK и LNO: MK = LO = R.
17. Тогда: R² = 14² - R²
18. 2R² = 196
19. R² = 98
20. R = √98 = 7√2
21. LN = 10.5

Ответ: 10.5