Прямая не проходит через вершины многоугольника. Докажите, что она пересекает его в чётном числе точек.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный многоугольник и прямую, не проходящую через его вершины. Пусть прямая пересекает сторону многоугольника. При переходе через эту сторону прямая либо входит внутрь многоугольника, либо выходит из него. Чтобы прямая пересекла многоугольник, она должна войти внутрь него, а затем выйти. Таким образом, каждое вхождение внутрь многоугольника должно быть компенсировано выходом из него.

Предположим, прямая пересекает многоугольник в некотором количестве точек. Каждая точка пересечения соответствует либо входу прямой внутрь многоугольника, либо выходу из него. Поскольку каждое вхождение должно быть компенсировано выходом, количество точек входа должно быть равно количеству точек выхода. Следовательно, общее число точек пересечения должно быть чётным, так как оно равно сумме точек входа и точек выхода.

Таким образом, прямая, не проходящая через вершины многоугольника, пересекает его в чётном числе точек.

Ответ: Доказано, что прямая пересекает многоугольник в чётном числе точек.