23. Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 48$, $BC = 16$, $CF : DF = 5 : 3$.

Question

Вопрос:

23. Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 48$, $BC = 16$, $CF : DF = 5 : 3$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ - основания, $AD = 48$, $BC = 16$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, $E$ лежит на $AB$, $F$ лежит на $CD$, и $CF : DF = 5 : 3$.

Пусть $CF = 5x$ и $DF = 3x$. Тогда $CD = CF + DF = 5x + 3x = 8x$.

Проведем прямую через точку $B$ параллельно стороне $CD$ до пересечения с $AD$ в точке $G$. Тогда $BG = CD$, а $AG = AD - GD = AD - BC = 48 - 16 = 32$.

Через точку $F$ проведем прямую, параллельную $AD$ и $BC$, до пересечения с $BG$ в точке $H$. Рассмотрим треугольник $BGD$. Точка $H$ лежит на $BG$, точка $F$ лежит на $CD$, и $HF \parallel GD$. Тогда $BH : HG = CF : FD = 5 : 3$.

Поскольку $BG = CD = 8x$, то $BH = 5x$ и $HG = 3x$.

Рассмотрим треугольник $BGD$. Так как $HF \parallel GD$, имеем $HF : GD = BH : BG$. Тогда $HF : AG = BH : BG$, где $GD = AG$.

Подставим известные значения: $HF : 32 = 5x : 8x$. Значит, $HF = 32 \cdot \frac{5x}{8x} = 32 \cdot \frac{5}{8} = 4 \cdot 5 = 20$.

Теперь найдем $EF$. Так как $EF = BC + HF$, получим $EF = 16 + 20 = 36$.

$$EF = BC + \frac{CF}{CD} (AD - BC) = 16 + \frac{5}{8} (48 - 16) = 16 + \frac{5}{8} \cdot 32 = 16 + 5 \cdot 4 = 16 + 20 = 36$$

Ответ: 36