Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 30, BC = 10 и CF : DF = 3 : 7.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. **Понимание задачи:** У нас есть трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Прямая EF параллельна основаниям и пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Нам известны длины оснований AD и BC, а также отношение отрезков CF и DF. Нужно найти длину отрезка EF. 2. **Ключевой момент:** Вспомним свойство трапеции и отрезка, параллельного её основаниям. Если прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает её боковые стороны, то она делится боковыми сторонами на отрезки, пропорциональные частям боковых сторон. Это значит, что если у нас есть отношение CF : DF, то мы можем найти на какую часть от общей длины боковой стороны CD приходится точка F, это отношение будет также применимо к отрезкам образованным прямой EF. 3. **Решение:** Обозначим длину отрезка EF как x. Используем формулу для вычисления длины отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего боковые стороны в определенном отношении: $$EF = \frac{m \cdot AD + n \cdot BC}{m+n}$$, где m и n — части, на которые делится боковая сторона (согласно нашему условию это CF : DF = 3 : 7, где m=3 и n=7) Подставим известные значения: $$x = \frac{3 \cdot 30 + 7 \cdot 10}{3+7}$$ $$x = \frac{90 + 70}{10}$$ $$x = \frac{160}{10}$$ $$x = 16$$ 4. **Ответ:** Длина отрезка EF равна 16. **Развёрнутый ответ для ученика:** Представь, что у нас есть трапеция, как лестница с двумя параллельными перекладинами (основаниями). Мы провели ещё одну перекладину (отрезок EF) параллельно этим основаниям. Эта перекладина делит боковые стороны трапеции на отрезки в некотором отношении. Чтобы найти длину этой перекладины (EF), мы используем специальную формулу. Нам известно, что длина одного основания (AD) равна 30, а другого (BC) равна 10. Также нам дано отношение, на какие части поделилась боковая сторона CD точкой F (3 к 7). Подставив эти значения в формулу, мы получаем длину EF, которая равна 16. То есть, отрезок EF длиннее меньшего основания (BC) и короче большего основания (AD).