246 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ И АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Дано: треугольник ABC – равнобедренный (AB = AC), MN || BC, M лежит на AB, N лежит на AC.

Доказать: треугольник AMN – равнобедренный.

Доказательство:

Так как MN || BC, то углы AMN и ABC являются соответственными при секущей AB. Значит,

$$ \angle AMN = \angle ABC $$

Аналогично, углы ANM и ACB – соответственные при секущей AC. Значит,

$$ \angle ANM = \angle ACB $$

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при его основании равны:

$$ \angle ABC = \angle ACB $$

Следовательно,

$$ \angle AMN = \angle ABC = \angle ACB = \angle ANM $$

Таким образом, углы AMN и ANM равны:

$$ \angle AMN = \angle ANM $$

В треугольнике AMN углы при основании MN равны, следовательно, этот треугольник равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.