Решение

Рассмотрим треугольник ABC, в котором KM || AC. По теореме Фалеса, если прямые, параллельные одной стороне треугольника, пересекают две другие стороны, то они делят эти стороны пропорционально. Следовательно, можем записать:

$$ \frac{BK}{KA} = \frac{BM}{MC} $$

Дано, что BK : KA = 2 : 3, значит, BM : MC = 2 : 3. Пусть BM = 2x, тогда MC = 3x.

Теперь рассмотрим треугольник ABM, в котором KO пересекает AM. По теореме Менелая для треугольника ABM и прямой KO имеем:

$$ \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MC}{CA} = 1 $$

Мы знаем, что AK/KB = 3/2 и MC/BM = 3/2. Подставим эти значения в уравнение:

$$ \frac{3}{2} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{3}{2} = 1 $$ $$ \frac{BO}{OM} = \frac{4}{9} $$

Теперь рассмотрим треугольник CBK, в котором MO пересекает CK. По теореме Менелая для треугольника CBK и прямой MO имеем:

$$ \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{KA}{AC} = 1 $$

Мы знаем, что CM/MB = 3/2. Подставим эти значения в уравнение:

Выразим AO через OM, зная, что AM = AO + OM = 28:

$$AO = 28 - OM$$

Теперь рассмотрим треугольник AMC и секущую CK, по теореме Менелая:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CO}{OM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1 $$

Не хватает данных для того чтобы решить задачу.

Пусть \(OM = y\), тогда \(AO = 28 - y\). Рассмотрим треугольник \(ABM\). В этом треугольнике прямая \(CK\) является секущей. Запишем теорему Менелая:

$$\frac{BC}{CM} \cdot \frac{MO}{OA} \cdot \frac{AK}{KB} = 1$$

Выразим отношение \(\frac{BC}{CM}\) через ранее известные отношения. Мы знаем, что \(\frac{BM}{MC} = \frac{2}{3}\), следовательно, \(BM = \frac{2}{3}MC\). Тогда \(BC = BM + MC = \frac{2}{3}MC + MC = \frac{5}{3}MC\). Таким образом, \(\frac{BC}{CM} = \frac{\frac{5}{3}MC}{MC} = \frac{5}{3}\).

Теперь подставим известные значения в теорему Менелая:

$$\frac{5}{3} \cdot \frac{y}{28 - y} \cdot \frac{3}{2} = 1$$

Решим уравнение относительно \(y\):

$$\frac{5}{3} \cdot \frac{y}{28 - y} \cdot \frac{3}{2} = 1$$ $$\frac{5y}{2(28 - y)} = 1$$ $$5y = 2(28 - y)$$ $$5y = 56 - 2y$$ $$7y = 56$$ $$y = 8$$

Таким образом, \(OM = 8\).

Ответ: OM = 8