7. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АВ=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Рассмотрим задачу №7.

Пусть дан треугольник ABC, MN || AC, M лежит на AB, N лежит на BC. AB = 54, AC = 48, MN = 40. Требуется найти AM.

Треугольники ABC и MBN подобны по двум углам (∠B - общий, ∠MNB = ∠ACB как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей BC). Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}$$ $$\frac{MB}{54} = \frac{40}{48}$$ $$MB = \frac{54 \cdot 40}{48} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 8}{8} = 45$$

Тогда AM = AB - MB = 54 - 45 = 9.

Ответ: 9