Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках КиМ соответственно. Отрезки АМ и СК пересекаются в точке О. Найдите ОМ, если ВК: КA = 2:3, AM = 28.

Рассмотрим рисунок:

      B
     / \
    /   \
   K-----M
  /     \
 /       \
O         
/         \
A-----------C

Пусть $$BK = 2x$$, $$KA = 3x$$, тогда $$BA = BK + KA = 2x + 3x = 5x$$.

$$AM$$ и $$CK$$ пересекаются в точке $$O$$.

Прямая $$KM$$ параллельна стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$BKM$$ и $$BAC$$.

Угол $$B$$ общий.

Угол $$BKM = $$ углу $$BAC$$ как соответственные при параллельных прямых $$KM$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$.

Тогда треугольник $$BKM$$ подобен треугольнику $$BAC$$ по двум углам.

Значит, $$\frac{BK}{BA} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$$.

По теореме Менелая для треугольника $$ABM$$ и прямой $$CK$$:

$$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BC}{CM} \cdot \frac{MO}{OA} = 1$$.

Тогда $$\frac{CM}{BC} = \frac{AM}{AB}$$.

Поскольку треугольник $$BKM$$ подобен треугольнику $$BAC$$, то $$\frac{BM}{BC} = \frac{BK}{BA} = \frac{2}{5}$$.

Тогда $$\frac{CM}{BC} = 1 - \frac{BM}{BC} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$.

Подставим известные значения в теорему Менелая:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{MO}{OA} = 1$$.

$$\frac{5}{2} \cdot \frac{MO}{OA} = 1$$.

$$\frac{MO}{OA} = \frac{2}{5}$$.

Значит, $$OA = \frac{5}{2} MO$$.

Тогда $$AM = AO + OM = \frac{5}{2} MO + MO = \frac{7}{2} MO$$.

$$AM = 28$$ по условию, значит, $$\frac{7}{2} MO = 28$$.

$$MO = 28 : \frac{7}{2} = 28 \cdot \frac{2}{7} = 4 \cdot 2 = 8$$.

Ответ: $$OM = 8$$.