Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Ки М соответственно. Отрезки АМ ИСК пересекаются в точке О. Найдите ОМ, если ВK : KA = 3 : 5, AM = 33.

Рассмотрим треугольник ABC. Прямая KM параллельна AC. Отрезки AM и CK пересекаются в точке О.

Дано: BK : KA = 3 : 5, AM = 33. Найти OM.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABС. По теореме Фалеса, если прямые KM || AC, то выполняются следующие соотношения:

$$ \frac{BK}{KA} = \frac{BM}{MC} $$, отсюда $$ \frac{BM}{MC} = \frac{3}{5} $$.

2) Пусть BK = 3x, KA = 5x, тогда AB = BK + KA = 3x + 5x = 8x.

3) Рассмотрим треугольник ABM. Отрезок KO отсекает треугольник, тогда по теореме Менелая:

$$ \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MC}{CA} = 1 $$

4) Выразим AC через MC. Пусть BM = 3y, MC = 5y, тогда BC = BM + MC = 3y + 5y = 8y. Так как KM || AC, то треугольник BKM подобен треугольнику BAC. Значит:

$$ \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} $$, отсюда $$ \frac{3y}{8y} = \frac{KM}{AC} $$, тогда $$ \frac{KM}{AC} = \frac{3}{8} $$.

5) Подставим известные величины в теорему Менелая:

$$ \frac{5}{3} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{5}{8} = 1 $$, отсюда $$ \frac{BO}{OM} = \frac{24}{25} $$.

6) Рассмотрим треугольник BCK. Отрезок AO отсекает треугольник, тогда по теореме Менелая:

$$ \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MO}{OB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1 $$ $$ \frac{CA}{33} \cdot \frac{25}{24} \cdot \frac{3}{8} = 1 $$, отсюда $$ CA = \frac{33 \cdot 24 \cdot 8}{25 \cdot 3} = \frac{33 \cdot 8 \cdot 8}{25} = \frac{2112}{25} = 84.48 $$.

7) Рассмотрим треугольники AKO и CMO, они подобны, тогда $$ \frac{AK}{MC} = \frac{KO}{OM} = \frac{AO}{OC} $$.

8) Т.к. $$ \frac{MC}{BM} = \frac{5}{3} $$, то $$MC = \frac{5}{8}BC $$. Т.к. $$ \frac{AK}{BK} = \frac{5}{3} $$, то $$AK = \frac{5}{8}AB $$.

9) $$ \frac{AK}{MC} = \frac{\frac{5}{8}AB}{\frac{5}{8}BC} = \frac{AB}{BC} $$.

10) Рассмотрим треугольник AMC. По теореме Менелая $$ \frac{AO}{OM} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$.

11) $$ \frac{AO}{OM} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$$, $$ \frac{AO}{OM} = \frac{8}{3} \cdot \frac{KA}{CK} $$.

12) $$ \frac{CK}{BK} = \frac{8}{3} $$, $$CK = \frac{8}{3}BK $$, $$KA = \frac{5}{3}BK $$. Тогда $$ \frac{KA}{CK} = \frac{\frac{5}{3}BK}{\frac{8}{3}BK} = \frac{5}{8} $$.

13) $$ \frac{AO}{OM} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{3} $$. $$AM = AO + OM = 33 $$.

14) Пусть ОМ = z, тогда АО = $$ \frac{5}{3}z $$. $$ \frac{5}{3}z + z = 33 $$, $$ \frac{8}{3}z = 33 $$, $$z = \frac{33 \cdot 3}{8} = \frac{99}{8} = 12.375 $$.

Ответ: 12,375