1) Прямая, параллельная стороне М№ треугольника MNK, пересекает его стороны №К и КМ в точках Р и R соответственно. PR = 15, MN = 45, Sмик-156,6. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка в треугольнике MNK попала в трапецию MNPR. 2) В прямоугольной системе координат построен треугольник с вершинами в точках (-2; 3), (-1;-4), (3; -4), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри окружности в центром в точке (0;-3) и радиусом 0,5 3) Спортивный зал в школе имеет площадь 288 м². Волейбольная площадка имеет длину 18 метров и ширину 9 метров. Найдите вероятность того, что при падении мяча в спортивном зале, первое его касание пола (касание в одной точке) будет в ауте (вне волейбольной площадки) 4) Диагонали трапеции THPR пересекаются в точке О. Основания ТН и PR равны 14 и 49 соответственно, высота трапеции равна 9. В трапеции THPR наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка будет принадлежать треугольнику TOR или треугольнику НОР. 5) Столешница имеет прямоугольную форму, ее ширина и длина равны 80 см и 1,2 м соответственно. Стол начали сервировать и положили на него 8 салфеток круглой кормы, диаметр которых равен 16 см. На стол села муха. Найдите вероятность того, что муха села не на салфетку. В ходе решения задачи будем считать, что муха это точка.

1)

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Прямая PR параллельна MN, следовательно, треугольники PRK и MNK подобны.

Коэффициент подобия k = PR/MN = 15/45 = 1/3.

Площадь треугольника PRK равна S_PRK = k² * S_MNK = (1/3)² * 156.6 = (1/9) * 156.6 = 17.4.

Площадь трапеции MNPR равна S_MNPR = S_MNK - S_PRK = 156.6 - 17.4 = 139.2.

Вероятность того, что точка попадет в трапецию MNPR, равна отношению площади трапеции к площади треугольника MNK:

$$P = rac{S_{MNPR}}{S_{MNK}} = rac{139.2}{156.6} = rac{1392}{1566} = rac{232}{261} approx 0.8889$$

Вероятность равна приблизительно 0.8889 или 88.89%.

2)

Сначала определим площадь треугольника с вершинами в точках (-2; 3), (-1; -4), (3; -4). Используем формулу площади треугольника через координаты вершин:

$$S = rac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))|$$

Подставляем координаты: x₁ = -2, y₁ = 3; x₂ = -1, y₂ = -4; x₃ = 3, y₃ = -4.

$$S = rac{1}{2} |(-2(-4 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 3(3 - (-4)))|$$ $$S = rac{1}{2} |(-2(0) - 1(-7) + 3(7))|$$ $$S = rac{1}{2} |(0 + 7 + 21)| = rac{1}{2} |28| = 14$$

Теперь определим площадь круга с центром в точке (0; -3) и радиусом 0,5:

$$S_{circle} = pi r^2 = pi (0.5)^2 = pi (0.25) = 0.25pi$$

Вероятность того, что точка окажется внутри окружности, равна отношению площади круга к площади треугольника:

$$P = rac{S_{circle}}{S} = rac{0.25pi}{14} = rac{pi}{56} approx rac{3.14159}{56} approx 0.0561$$

Вероятность равна приблизительно 0.0561 или 5.61%.

3)

Площадь спортивного зала: 288 м².

Площадь волейбольной площадки: 18 м × 9 м = 162 м².

Площадь аута (вне волейбольной площадки) равна разности площади зала и площади площадки:

S_аута = S_зала - S_{площадки} = 288 - 162 = 126 м².

Вероятность того, что мяч попадет в аут, равна отношению площади аута к площади зала:

$$P = rac{S_{аута}}{S_{зала}} = rac{126}{288} = rac{63}{144} = rac{21}{48} = rac{7}{16} = 0.4375$$

Вероятность равна 0.4375 или 43.75%.

4)

Площадь трапеции THPR можно найти по формуле:

$$S_{THPR} = rac{1}{2} (TH + PR) cdot h = rac{1}{2} (14 + 49) cdot 9 = rac{1}{2} (63) cdot 9 = 283.5$$

Так как диагонали трапеции делят её на четыре треугольника, два из которых (TOP и HОP) имеют общую высоту, равную высоте трапеции. Их основания TH и PR. Диагонали трапеции делят друг друга в том же отношении, что и основания, то есть OT/OP = OH/OR = TH/PR = 14/49 = 2/7.

Площадь треугольника TOR равна S_TOR = (OR/PR) * S_TPR

Площадь треугольника HOP равна S_HOP = (OH/TH) * S_HTH

Высоты треугольников HОP и TOR, проведенные из вершины О, одинаковы.

Площадь треугольника TOP относится к площади треугольника HOP как TH к PR:

$$S_{TOP} = rac{TH}{TH + PR} cdot S_{THPR} = rac{14}{14+49} cdot 283.5 = rac{14}{63} cdot 283.5 = rac{2}{9} cdot 283.5 = 63$$ $$S_{HOP} = rac{PR}{TH + PR} cdot S_{THPR} = rac{49}{14+49} cdot 283.5 = rac{49}{63} cdot 283.5 = rac{7}{9} cdot 283.5 = 220.5$$

Площадь треугольников TOR и HOP равна:

$$S_{TOR} + S_{HOP} = 63+63 = S_{THPR} = rac{2}{9} (283.5)=220.5$$

$$S_{TOR} + S_{HOP} = 63 +220.5$$

$$S_{TOR} + S_{HOP} = 283.5$$

S_{TOP} + S_{HOP} /S_ трапеции 1

Вероятность того, что точка будет принадлежать треугольнику TOR или треугольнику HOP, равна отношению суммы их площадей к площади трапеции:

$$P = rac{S_{TOR} + S_{HOP}}{S_{THPR}} = rac{S_ THPR}{S_{THPR}} = 1$$

Вероятность равна 1 или 100%.

5)

Площадь столешницы прямоугольной формы:

$$S_{столешницы} = 80 ext{ см} imes 120 ext{ см} = 9600 ext{ см}^2$$

Площадь одной салфетки (круга) с диаметром 16 см (радиус 8 см):

$$S_{салфетки} = pi r^2 = pi (8 ext{ см})^2 = 64pi ext{ см}^2$$

Площадь 8 салфеток:

$$S_{8салфеток} = 8 imes 64pi ext{ см}^2 = 512pi ext{ см}^2 approx 512 imes 3.14159 approx 1608.5 ext{ см}^2$$

Площадь столешницы, не покрытой салфетками:

$$S_{непокрытая} = S_{столешницы} - S_{8салфеток} = 9600 ext{ см}^2 - 1608.5 ext{ см}^2 approx 7991.5 ext{ см}^2$$

Вероятность того, что муха сядет не на салфетку:

$$P = rac{S_{непокрытая}}{S_{столешницы}} = rac{7991.5}{9600} approx 0.8324$$

Вероятность равна приблизительно 0.8324 или 83.24%.