137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Докажем, что треугольник AMN — равнобедренный.

1. Пусть дан угол A, биссектриса которого пересекает прямую MN в точке K. Т.к. прямая MN перпендикулярна биссектрисе угла A, то ∠MKA = ∠NKA = 90°.
2. Рассмотрим треугольники MKA и NKA: AK - общая сторона, ∠MKA = ∠NKA = 90°, ∠MAK = ∠NAK (т.к. AK - биссектриса угла A). Следовательно, △MKA = △NKA по стороне и двум прилежащим углам.
3. Из равенства треугольников MKA и NKA следует, что AM = AN, значит, треугольник AMN - равнобедренный.

Ответ: доказано