Прямая проходит через середи-ны двух хорд окружности и образует с ними равные односторонние углы. Докажите, что эти две хорды равны. (рис.) 27.

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB и CD — хорды.
• Прямая l проходит через середины хорд AB (точка M) и CD (точка N).
• \[ \angle AMN = \angle CNM \] (равные односторонние углы).

Доказать:

• AB = CD

Доказательство:

1. Проведем радиусы OA, OB, OC, OD.
2. Рассмотрим треугольники ╨OAM╨ и ╨OCN╨.
3. M — середина хорды AB, следовательно, OM ⊥ AB.
4. N — середина хорды CD, следовательно, ON ⊥ CD.
5. ╨OAM╨ — прямоугольный треугольник, так как ╨OMA = 90°.
6. ╨OCN╨ — прямоугольный треугольник, так как ╨ONC = 90°.
7. ╨OAM╨ и ╨OCN╨ — прямоугольные треугольники.
8. ╨OA = ╨OC╨ (радиусы окружности).
9. ╨AM = AB / 2
10. ╨CN = CD / 2
11. ╨∠AMN = ∠CNM
12. ╨∠AMN и ∠CMN — смежные, следовательно, ∠CMN = 180° - ∠AMN.
13. ╨∠CNM и ∠ANC — смежные, следовательно, ∠ANC = 180° - ∠CNM.
14. Так как ∠AMN = ∠CNM, то ∠CMN = ∠ANC.
15. Рассмотрим ╨MON╨.
16. ╨∠OMN + ∠ONM + ∠MON = 180°
17. ╨90° + ∠ONM + ∠MON = 180°
18. ╨∠ONM + ∠MON = 90°
19. ╨∠OMN = 90°, ∠AMN + ∠OMN = 180° (развернутый угол).
20. ╨∠AMN = 180° - 90° = 90°.
21. ╨∠CNM = 180° - 90° = 90°.
22. ╨∠AMN = ∠CNM, что дано.
23. ╨∠OAM╨ = 90° - ∠AOM
24. ╨∠OCN╨ = 90° - ∠CON
25. ╨∠AOM = ∠CON
26. ╨OM = ∠ON╨ (расстояние от центра до хорд).
27. ╨∠AOM = ∠CON (углы при вершине M и N, равны 90).
28. ╨∠AM = ∠CN (по теореме о перпендикуляре из центра к хорде).
29. ╨ AB = 2 * AM
30. ╨ CD = 2 * CN
31. ╨ AB = CD

Ответ: Хорды равны.