Прямая проходит через середины двух хорд окружности и образует с ними равные односторонние углы. Докажите, что эти две хорды равны.

Пусть дана окружность с центром O. Прямая l пересекает две хорды AB и CD в точках M и N соответственно, являющихся их серединами. При этом углы, образованные прямой l с хордами AB и CD, равны. Необходимо доказать, что AB = CD.

Доказательство:

1. Так как M и N - середины хорд AB и CD соответственно, то отрезки OM и ON перпендикулярны хордам AB и CD. Это следует из свойства радиуса, проведенного в середину хорды.

2. Пусть угол между прямой l и хордой AB равен α. Тогда угол между прямой l и хордой CD также равен α (по условию). Следовательно, углы между OM и l, а также между ON и l равны 90° - α. Обозначим эти углы как β.

   $$ \beta = 90^\circ - \alpha $$

3. Рассмотрим треугольники ΔOMO' и ΔONO', где O' - точка пересечения прямой l с отрезками OM и ON. Поскольку углы β равны, треугольник ΔOMO' и ΔONO' прямоугольные, и MO' = NO' то ΔOMO' = ΔONO' по гипотенузе и острому углу.

4. Из равенства треугольников следует, что OM = ON. То есть, расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны.

5. Известно, что если расстояния от центра окружности до двух хорд равны, то и хорды равны. Следовательно, AB = CD.

Что и требовалось доказать.