219 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС И перпендикулярная К AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB.

Рассмотрим решение задачи 219.

Пусть прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная AD, пересекает сторону AC в точке M. Нужно доказать, что MD || AB.

Обозначим середину биссектрисы AD как точку K. Тогда AK = KD.

Так как прямая, проходящая через точку K, перпендикулярна AD, то $$\angle AKM = 90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники AKM и DKM. У них:

• AK = KD (по условию),
• угол AKM = углу DKM = 90° (по условию),
• KM - общая сторона.

Следовательно, треугольники AKM и DKM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AM = MD и угол MAK = углу MDK.

Так как угол MAK = углу BAC (угол A в треугольнике ABC), то угол BAC = углу MDK.

Теперь рассмотрим треугольник AMD. Поскольку AM = MD, это равнобедренный треугольник, и углы при основании равны: угол MAD = углу MDA.

Но угол MAD = углу MAK = углу BAC. Следовательно, угол MDA = углу BAC.

Таким образом, угол MDA = углу BAC. Эти углы являются соответственными углами при прямых MD и AB и секущей AC. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, MD || AB.

Ответ: MD || AB, что и требовалось доказать.