Прямая, проведённая из точки А, касается в точке В окружности с центром в точке О. Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, а tg ∠AOB = 2,4.

Решение:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AOB\), где \(OB\) - радиус окружности, \(AB\) - касательная, а \(OA\) - гипотенуза.
• По условию, касательная \(AB\) перпендикулярна радиусу \(OB\), следовательно, \(\angle ABO = 90^\circ\).
• Обозначим радиус окружности \(OB = r\).
• По теореме Пифагора для треугольника \(\triangle AOB\):
  \[ OA^2 = AB^2 + OB^2 \]
• Также известно, что \(AB = 12\), поэтому
  \[ OA^2 = 12^2 + r^2 \]
• По определению тангенса угла:
  \[ tg \angle AOB = \frac{AB}{OB} = \frac{12}{r} \]
• Из условия дано, что \(tg \angle AOB = 2,4\), следовательно:
  \[ \frac{12}{r} = 2,4 \]
• Решим уравнение для нахождения \(r\):
  \[ r = \frac{12}{2,4} = 5 \]

Ответ: радиус окружности равен 5.