Прямая р проходит через точку О — середину отрезка СТ. Точка Н равноудалена от точек С и Т, Н ∈ р. Верно ли, что: a) точка М равноудалена от концов отрезка СТ; б) точка В равноудалена от концов отрезка СТ; в) точка А не равноудалена от концов отрезка СТ? Решение. a) По условию прямая ____ проходит через ____ отрезка СТ, а точка Н ____ концов отрезка ____ и лежит на ____ р. Следовательно, прямая р является ____ местом точек, ____ от концов ____ СТ, т. е. прямая ____ перпендикуляр к отрезку СТ.

Решение:

Определение: Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Дано:

• Прямая р проходит через середину О отрезка СТ.
• Точка Н ∈ р.
• Точка Н равноудалена от С и Т (НС = НТ).

Анализ условия:

Поскольку точка Н равноудалена от концов отрезка СТ (НС = НТ), то прямая, на которой лежит Н и которая проходит через середину отрезка СТ, является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Ответы на пункты:

a) По условию прямая р проходит через середину О отрезка СТ, а точка Н равноудалена концов отрезка С и Т и лежит на прямой р. Следовательно, прямая р является серединным местом точек, равноудалённых от концов отрезка СТ, т. е. прямая р перпендикуляр к отрезку СТ.

б) Если точка В равноудалена от концов отрезка СТ (ВС = ВТ), то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку СТ. Поскольку прямая р является серединным перпендикуляром к СТ, точка В должна лежать на прямой р. Следовательно, утверждение, что точка В равноудалена от концов отрезка СТ, верно, если В ∈ р.

в) Точка А на рисунке расположена так, что она не лежит на прямой р. Поскольку прямая р — это множество всех точек, равноудалённых от концов отрезка СТ, то точка А, не лежащая на р, не равноудалена от концов отрезка СТ. Следовательно, утверждение, что точка А не равноудалена от концов отрезка СТ, верно.

Общий вывод:

Утверждения б) и в) верны при условии, что точки В и А находятся в положении, показанном на рисунке или подразумеваемом в условии.