22. Прямая у = 2х + b касается окружности х2 +у2 = 20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в формате (х; у) без пробелов.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе.

\(y = 2x + b\) касается окружности \(x^2 + y^2 = 20\) в точке с отрицательной абсциссой. Нужно найти координаты точки касания.

Сначала подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[x^2 + (2x + b)^2 = 20\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 20\]

\[5x^2 + 4bx + (b^2 - 20) = 0\]

Так как прямая касается окружности, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

\[D = (4b)^2 - 4 Imes 5 Imes (b^2 - 20) = 0\]

\[16b^2 - 20(b^2 - 20) = 0\]

\[16b^2 - 20b^2 + 400 = 0\]

\[-4b^2 + 400 = 0\]

\[4b^2 = 400\]

\[b^2 = 100\]

\[b = \pm 10\]

Теперь найдем \(x\) для каждого значения \(b\).

Когда \(b = 10\):

\[5x^2 + 40x + (100 - 20) = 0\]

\[5x^2 + 40x + 80 = 0\]

\[x^2 + 8x + 16 = 0\]

\[(x + 4)^2 = 0\]

\[x = -4\]

Когда \(b = -10\):

\[5x^2 - 40x + (100 - 20) = 0\]

\[5x^2 - 40x + 80 = 0\]

\[x^2 - 8x + 16 = 0\]

\[(x - 4)^2 = 0\]

\[x = 4\]

По условию, нам нужна точка с отрицательной абсциссой, значит, выбираем \(x = -4\) и \(b = 10\).

Найдем соответствующее значение \(y\):

\[y = 2x + b = 2(-4) + 10 = -8 + 10 = 2\]

Таким образом, точка касания имеет координаты \((-4; 2)\).

Ответ: (-4;2)