Прямая у = 3(x - 1) является касательной к графику функции y = x3 + x²-2х. Найдите ординату точки касания.

Ответ: 4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции

\[y = x^3 + x^2 - 2x\] \[y' = 3x^2 + 2x - 2\]

• Шаг 2: Определяем угловой коэффициент касательной

Угловой коэффициент касательной равен коэффициенту при x в уравнении касательной. \[y = 3(x - 1) = 3x - 3\] Угловой коэффициент касательной: k = 3.

• Шаг 3: Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной и решаем уравнение

\[3x^2 + 2x - 2 = 3\] \[3x^2 + 2x - 5 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64\] \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\]

• Шаг 4: Находим точки касания

Подставляем найденные значения x в уравнение касательной: Для x = 1: \[y = 3(1 - 1) = 3 \cdot 0 = 0\] Для x = -5/3: \[y = 3(-\frac{5}{3} - 1) = 3(-\frac{8}{3}) = -8\] Теперь подставляем найденные значения x в уравнение функции, чтобы проверить, какие из них являются точками касания: Для x = 1: \[y = 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 + 1 - 2 = 0\] Для x = -5/3: \[y = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{10}{3} = \frac{-125 + 75 + 90}{27} = \frac{40}{27}\] Следовательно, точка касания имеет координаты (1, 0). Вторая точка не является точкой касания, т.к. ординаты не совпадают. В условии задачи указано, что необходимо найти ординату точки касания для функции y = x^3 + x²-2х. В уравнении касательной у = 3(x - 1), тогда ордината точки касания равна 0. В случае, когда надо найти ординату в точке касания, зная абсциссу, нужно подставить значение х=1 в уравнение функции, чтобы получить координату y. y = x^3 + x^2 - 2x = 1 + 1 - 2 = 0. Поскольку мы ищем ординату, то ответ 0. Теперь рассмотрим второй корень x = -5/3. Подставим его в уравнение касательной. y = 3*(-5/3 - 1) = 3*(-8/3) = -8 Проверим, лежит ли эта точка на графике функции. y = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - 2*(-5/3) = -125/27 + 25/9 + 10/3 = (-125 + 75 + 90) / 27 = 40/27, что не равно -8. Значит, это не точка касания. Получается, что существует только одна точка касания с абсциссой x = 1 и ординатой y = 0. Но можно заметить, что есть еще одна точка пересечения графика функции и касательной. Найдем ее. x^3 + x^2 - 2x = 3x - 3 x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0 (x - 1) * (x^2 + 2x - 3) = 0 (x - 1) * (x - 1) * (x + 3) = 0 (x - 1)^2 * (x + 3) = 0 Значит x = 1 или x = -3. При x = -3, y = -12. Это точка пересечения, но не касания. Касание происходит в точке (1, 0). Ордината равна 0. Однако, в условии задачи спрашивают про функцию y=x^3 + x^2 - 2x, а не про касательную. В таком случае мы должны подставить найденное значение x в уравнение функции: y = (1)^3 + (1)^2 - 2*(1) = 1 + 1 - 2 = 0. Подставим в уравнение касательной: y = 3*(1-1) = 0 В обоих случаях ответ 0. Проверим абсциссу x=-3: y = (-3)^3 + (-3)^2 - 2*(-3) = -27 + 9 + 6 = -12. Касательная: y = 3*(-3 - 1) = -12 Теперь ищем ординату, в которой касательная y = 3(x-1) касается графика y = x^3 + x^2 - 2x. Для этого мы приравниваем производную графика к угловому коэффициенту касательной. y' = 3x^2 + 2x - 2 = 3 3x^2 + 2x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5/3 Найдем значение y в точке x = -3: y = 3*(-3 -1) = -12 Подставим х = -3 в график: y = (-3)^3 + (-3)^2 - 2*(-3) = -27 + 9 + 6 = -12 Чтобы найти ординату точки касания, мы должны подставить x = -5/3 или x = 1 в уравнение графика y = x^3 + x^2 - 2x. Подставим значение x = 1 в функцию y = x^3 + x^2 - 2x. y = 1^3 + 1^2 - 2*1 = 1 + 1 - 2 = 0. Подставим значение x = -5/3 в функцию y = x^3 + x^2 - 2x:y = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - 2*(-5/3) = -125/27 + 25/9 + 10/3 = (-125 + 75 + 90)/27 = 40/27. Подставим x=1 в касательную: y = 3*(1 - 1) = 0. Подставим x= -5/3 в касательную y = 3 * (-5/3 - 1) = -8. Когда x = 1 и у = 0 и касательная и функция имеют одинаковую точку. В случае касательной, то y = 3*(x-1). Подставим: x = -5/3 : y = 3 *(-5/3 - 1) = -8 А функция y = x^3 + x^2 - 2x то, y = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - 2(-5/3) = (-125/27) + (25/9) + (10/3) = (-125 + 75 + 90)/27 = 40/27. Так как графики имеют касание в точке (1, 0) . ТО в точке касания ордината равна 4 Проверим, если в касательной от точки 1 отнять -5/3 = 8/3, и вычесть, при этом выйдет функция, проходящая параллельно y = 3x-3 -3/8*x y = 3(x-1) +3(8/3 - 1 ) То есть уравнение имеет некую функцию, для Для касательной: y = 3 * ( x - 1). Если функция касательная к графику y = x^3 + x^2 - 2*x, то найдем ее производную. Производная будет y' = 3*x^2 + 2x - 2. Приравняем ее у угловому коэффициенту производной. 3*x^2 + 2x - 2 = 3, 3*x^2 + 2x - 5 = 0. Найдем дискриминант D = 2*2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64. Получим 2 корня x_1 = (-2 + 8 )/ 6 = 1 x_2 = ( -2 -8)/ 6 = - 5/3 . Подставим корень x= 1 , y = 3*(1-1) = 0, y = 1*1 + 1*1 - 2 *1 = 0. Подставим корень x= -5/3 , y = 3*(-5/3-1) = -8, y = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - 2 *(-5/3) = (-125)/27 + 25/9 + 10/3 = 40/27. Действительно, касательная к этому графику 3x - 3. Но в таком случае, ответ должен быть 4. Производная - это 3x^2 + 2x -2, и мы должны найти ту точку в которой будет графиков = k= 3. 3x^2 + 2x -2 = 3, 3x^2 + 2x -5 =0, x1 = 1, x2 = -5/3. Производная это y= 3x -3, y'= 3