Прямая y=-2x+6 является касательной к графику функции y = x³-6x²+7x+2. Найдите абсциссу точки касания.

Пусть точка касания имеет абсциссу x₀. Тогда производная функции в этой точке равна угловому коэффициенту касательной:

y' = 3x² - 12x + 7

3x₀² - 12x₀ + 7 = -2

3x₀² - 12x₀ + 9 = 0

x₀² - 4x₀ + 3 = 0

(x₀ - 1)(x₀ - 3) = 0

x₀ = 1 или x₀ = 3.

Также, точка касания должна лежать на обеих кривых:

x₀³ - 6x₀² + 7x₀ + 2 = -2x₀ + 6

x₀³ - 6x₀² + 9x₀ - 4 = 0

Проверим найденные значения x₀:

При x₀ = 1: 1³ - 6(1)² + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0. Верно.

При x₀ = 3: 3³ - 6(3)² + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4 ≠ 0. Неверно.