Прямая y = 5x - 8 является касательной к графику функции y = 6x^2 + bx + 16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение:

Для того чтобы прямая \( y = 5x - 8 \) была касательной к графику функции \( y = 6x^2 + bx + 16 \), должны выполняться два условия:

1. Условие касания (равенство функций): В точке касания значения функций должны быть равны.
2. Условие касания (равенство производных): В точке касания производные функций должны быть равны, так как касательная имеет тот же наклон, что и функция в точке касания.

Найдем производную функции \( y = 6x^2 + bx + 16 \):

\( y' = (6x^2 + bx + 16)' = 12x + b \)

Найдём производную прямой \( y = 5x - 8 \). Производная константы равна 0, а производная \( 5x \) равна 5:

\( y' = (5x - 8)' = 5 \)

Теперь приравняем производные, чтобы найти абсциссу точки касания \( x_0 \):

\( 12x_0 + b = 5 \) (1)

Теперь приравняем сами функции в точке касания \( x_0 \):

\( 6x_0^2 + bx_0 + 16 = 5x_0 - 8 \) (2)

Из уравнения (1) выразим \( b \):

\( b = 5 - 12x_0 \)

Подставим это выражение для \( b \) в уравнение (2):

\( 6x_0^2 + (5 - 12x_0)x_0 + 16 = 5x_0 - 8 \)

Раскроем скобки:

\( 6x_0^2 + 5x_0 - 12x_0^2 + 16 = 5x_0 - 8 \)

Приведем подобные слагаемые:

\( -6x_0^2 + 5x_0 + 16 = 5x_0 - 8 \)

Вычтем \( 5x_0 \) из обеих частей:

\( -6x_0^2 + 16 = -8 \)

Перенесем 16 в правую часть:

\( -6x_0^2 = -8 - 16 \)

\( -6x_0^2 = -24 \)

Разделим обе части на -6:

\( x_0^2 = \frac{-24}{-6} = 4 \)

Извлечем квадратный корень:

\( x_0 = ±2 \)

По условию задачи, абсцисса точки касания больше 0, поэтому \( x_0 = 2 \).

Теперь найдем \( b \), используя найденное значение \( x_0 \) и формулу \( b = 5 - 12x_0 \):

\( b = 5 - 12 · 2 \)

\( b = 5 - 24 \)

\( b = -19 \)

Ответ: b = -19.