Прямая y = 5x - 9 является касательной к графику функции y = 20x² - 15x +c. Найдите с.

Решение:

Чтобы прямая \( y = 5x - 9 \) была касательной к графику функции \( y = 20x^2 - 15x + c \), должны выполняться два условия:

1. Равенство производных: Производная функции \( y = 20x^2 - 15x + c \) должна быть равна угловому коэффициенту касательной, который равен 5.
2. Равенство значений функций в точке касания: В точке касания значения прямой и функции должны совпадать.

Шаг 1: Найдём производную функции.

Производная функции \( y = 20x^2 - 15x + c \) равна \( y' = 40x - 15 \).

Шаг 2: Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной.

\( 40x - 15 = 5 \)

\( 40x = 20 \)

\( x = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \)

Это абсцисса точки касания.

Шаг 3: Найдём ординату точки касания, подставив \( x = \frac{1}{2} \) в уравнение прямой.

\( y = 5x - 9 = 5 \cdot \frac{1}{2} - 9 = \frac{5}{2} - 9 = 2.5 - 9 = -6.5 \)

Шаг 4: Приравняем значения функций в точке касания.

Подставим \( x = \frac{1}{2} \) и \( y = -6.5 \) в уравнение функции \( y = 20x^2 - 15x + c \):

\( -6.5 = 20 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 15 \cdot \frac{1}{2} + c \)

\( -6.5 = 20 \cdot \frac{1}{4} - \frac{15}{2} + c \)

\( -6.5 = 5 - 7.5 + c \)

\( -6.5 = -2.5 + c \)

\( c = -6.5 + 2.5 \)

\( c = -4 \)

Ответ: c = -4.