Прямая y = 6x - 7 касается параболы y = x² + bx + c в точке M(2;5). Найдите сумму b+c.

Решение:

Условие касания прямой и параболы означает, что в точке касания их значения и значения их производных равны.

1. Найдём значение функции параболы в точке x=2:
   Так как точка M(2;5) принадлежит параболе, то \( y = x^2 + bx + c \) при \( x=2 \) должно равняться 5.
   \[ 5 = 2^2 + b \cdot 2 + c \]
   \[ 5 = 4 + 2b + c \]
   \[ 2b + c = 1 \quad (1) \]
2. Найдём производную параболы:
   \[ y' = (x^2 + bx + c)' = 2x + b \]
3. Найдём значение производной параболы в точке x=2:
   \[ y'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b \]
4. Найдём значение производной прямой:
   Уравнение прямой: \( y = 6x - 7 \). Производная прямой равна её угловому коэффициенту.
   \[ y' = (6x - 7)' = 6 \]
5. Приравняем значения производных в точке x=2:
   Так как прямая касается параболы, их угловые коэффициенты в точке касания равны.
   \[ 4 + b = 6 \]
   \[ b = 6 - 4 \]
   \[ b = 2 \]
6. Подставим значение b в уравнение (1):
   \[ 2 \cdot 2 + c = 1 \]
   \[ 4 + c = 1 \]
   \[ c = 1 - 4 \]
   \[ c = -3 \]
7. Найдём сумму b + c:
   \[ b + c = 2 + (-3) = -1 \]

Ответ: -1