Прямоугольник двумя горизонтальными и двумя вертикальными сквозными разрезами разделили на девять прямоугольников. В каждой части записали её периметр, как показано на рисунке. Известно, что ошибочно записано ровно одно число. Найдите ошибку и восстановите правильный периметр.

Периметр каждой ячейки равен удвоенной сумме ширины её столбца и высоты её строки. Поэтому, если разделить все записанные периметры на 2, в каждой клетке получится сумма величин, зависящих только от её строки и столбца.

Для верхней и средней строк разности таких величин по столбцам должны быть одинаковыми. По первому столбцу разность равна \(9-7=2\), но по второму получается \(7-8=-1\), а по третьему — \(5-6=-1\). Значит, ошибка находится в клетке средней строки первого столбца: именно она должна согласовать обе разности.

Исправляем половину периметра в этой клетке: \(7+9-8=8\) для второго столбца и \(7+9-6=10\) для третьего? Эти значения не совпадают; проверим непосредственно условие аддитивности по строкам и столбцам. Для второй строки и второго столбца требуется \(a_{21}=a_{22}+a_{11}-a_{12}=7+7-8=6\). Для третьего столбца также \(a_{21}=a_{23}+a_{11}-a_{13}=5+7-6=6\).

Следовательно, вместо половины периметра 9 должно быть 6, то есть вместо числа 18 следует записать \(2\cdot6=12\). Остальные числа согласуются с тем, что периметр клетки — удвоенная сумма ширины её столбца и высоты её строки.

Ответ: ошибочно записано 18; правильный периметр — 12.