Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 10 и 18. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Разбор задачи:

Представь себе большой прямоугольник, который разрезали на четыре части. Мы знаем площади трёх из них, и нам нужно найти площадь четвёртой. Давай нарисуем это:

Пусть стороны большого прямоугольника будут $$A$$ и $$B$$. Разрезы делят эти стороны на отрезки. Обозначим их:

• Пусть верхняя сторона делится на $$a_1$$ и $$a_2$$.
• Пусть боковая сторона делится на $$b_1$$ и $$b_2$$.

Тогда площади четырёх маленьких прямоугольников будут:

• Верхний левый: $$a_1 \times b_1 = 5$$
• Верхний правый: $$a_2 \times b_1 = 10$$
• Нижний левый: $$a_1 \times b_2 = ?$$
• Нижний правый: $$a_2 \times b_2 = 18$$

Теперь посмотрим на соотношения площадей:

• Из верхних прямоугольников: $$(a_2 \times b_1) / (a_1 \times b_1) = 10 / 5 = 2$$. Это значит, что $$a_2 / a_1 = 2$$.
• Из правых прямоугольников: $$(a_2 \times b_2) / (a_2 \times b_1) = 18 / 10 = 1.8$$. Это значит, что $$b_2 / b_1 = 1.8$$.

Теперь найдем площадь нижнего левого прямоугольника ($$a_1 \times b_2$$):

Мы знаем, что $$a_1 = a_2 / 2$$ и $$b_2 = 1.8 \times b_1$$.

Площадь неизвестного прямоугольника равна $$a_1 \times b_2$$.

С другой стороны, мы можем воспользоваться тем, что произведение площадей противоположных углов равно:

$$(a_1 \times b_1) \times (a_2 \times b_2) = (a_1 \times b_2) \times (a_2 \times b_1)$$

Подставим известные значения:

$$5 \times 18 = ? \times 10$$

$$90 = ? \times 10$$

$$? = 90 / 10$$

$$? = 9$$

Проверим:

Если площадь четвёртого прямоугольника равна 9, то:

$$a_1 \times b_1 = 5$$

$$a_2 \times b_1 = 10 \rightarrow a_2/a_1 = 10/5 = 2$$

$$a_1 \times b_2 = 9 \rightarrow b_2/b_1 = 9/5 = 1.8$$

$$a_2 \times b_2 = 18 \rightarrow a_2/a_1 = 18/9 = 2$$. Совпадает.

Ответ: 9