Прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 5√2.

Пусть BC = 5√2. Так как AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

В прямоугольной трапеции BC || AD, поэтому ∠BCA = ∠CAD = 45° (как накрест лежащие углы).

В треугольнике ABC: ∠BAC = 45°, ∠BCA = 45°, значит, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = 5√2.

Так как трапеция прямоугольная, то ∠A = ∠B = 90°.

В прямоугольном треугольнике ABD: AB = 5√2, AD = AB + CD. Так как AC - биссектриса, то треугольник ACD равнобедренный (AB = CD), следовательно, CD = 5√2.

AD = 5√2 + 5√2 = 10√2.

По теореме Пифагора в треугольнике ABD: BD² = AB² + AD² = (5√2)² + (10√2)² = 50 + 200 = 250.

BD = √250 = 5√10.