Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ. Известно, что ВА — биссектриса угла CBD. Докажите, что АВ — биссектриса угла CAD.

Доказательство:

1. Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \) — прямоугольные, \( \angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ} \). AB — общая гипотенуза. BA — биссектриса \( \angle CBD \).
2. Доказать: AB — биссектриса \( \angle CAD \).
3. Условие 1: Поскольку BA — биссектриса \( \angle CBD \), то \( \angle CBA = \angle DBA \).
4. Условие 2: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \) — прямоугольные с общей гипотенузой AB.
5. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \). У них есть общая гипотенуза AB.
6. Так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( \angle ADB = 90^{\circ} \), то точки C и D лежат на окружности с диаметром AB.
7. В прямоугольном \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle CBA \).
8. В прямоугольном \( \triangle ABD \), \( \angle BAD = 90^{\circ} - \angle DBA \).
9. Из условия 1, \( \angle CBA = \angle DBA \). Следовательно, \( 90^{\circ} - \angle CBA = 90^{\circ} - \angle DBA \).
10. Значит, \( \angle BAC = \angle BAD \).
11. Так как \( \angle BAC = \angle BAD \), то отрезок AB делит угол CAD на два равных угла.
12. Следовательно, AB — биссектриса угла CAD.

Доказано.