Прямоугольный лист бумаги согнули так, что вершина совпала с серединой противоположной стороны, а линия сгиба прошла через соседнюю вершину (см. рисунок). Найдите отношение AC : BC.

Решение:

Обозначим вершины прямоугольника как на рисунке. Пусть большая сторона прямоугольника равна \( 2x \), а меньшая — \( y \). Тогда точка, с которой совпала вершина, будет серединой стороны, т.е. на расстоянии \( x \) от соседних вершин. Линия сгиба проходит через соседнюю вершину.

Рассмотрим свойства сгиба: линия сгиба является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему исходное положение вершины и её конечное положение. Однако, в данном случае, вершина совпадает с серединой стороны, а линия сгиба проходит через другую вершину. Это означает, что любая точка на линии сгиба равноудалена от исходного положения вершины и от середины противоположной стороны.

Пусть исходная вершина — верхний левый угол, которая совпадает с серединой нижней стороны. Линия сгиба проходит через верхний правый угол. Обозначим вершины прямоугольника так: верхний левый угол — \( P \), верхний правый — \( Q \), нижний левый — \( R \), нижний правый — \( S \). Исходно вершина \( P \) совпадает с серединой отрезка \( RS \), обозначим её \( M \). Линия сгиба проходит через \( Q \).

Пусть \( PQ = RS = 2x \) и \( PR = QS = y \). Тогда \( RM = MS = x \).

Рассмотрим случай, когда вершина, которая совпадает с серединой противоположной стороны, — это верхний левый угол, а линия сгиба проходит через нижний правый угол. Пусть верхний левый угол — \( A' \), верхний правый — \( B' \), нижний левый — \( C' \), нижний правый — \( D' \).

Пусть лист бумаги имеет вершины \( P, Q, R, S \) в порядке обхода. Согнем так, что вершина \( P \) совпадет с серединой \( RS \), назовем эту точку \( M \). Линия сгиба проходит через вершину \( Q \).

Пусть \( PQ = y \) и \( PS = 2x \). Тогда \( RM = MS = x \). Вершина \( P \) перемещается в точку \( M \). Отрезок \( QM \) — линия сгиба.

Любая точка на линии сгиба равноудалена от \( P \) и \( M \). Точка \( Q \) лежит на линии сгиба, поэтому \( QM = QP \). Но \( QP = y \).

Рассмотрим треугольник \( QMS \). Стороны: \( QS = y \), \( MS = x \), \( QM = y \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( QMS \): \( QS^2 + MS^2 = QM^2 \)

\( y^2 + x^2 = y^2 \)

Это невозможно, так как \( x \) не равно 0.

Рассмотрим другой вариант: вершина совпадает с серединой противоположной стороны, а линия сгиба проходит через СОСЕДНЮЮ вершину. На рисунке это показано, где \( A \) — вершина, которая была в верхнем левом углу и переместилась в середину нижней стороны. \( B \) — соседняя вершина, через которую проходит линия сгиба. \( C \) — точка на нижней стороне.

Пусть нижняя сторона имеет длину \( 3x \) (отмечены три равных отрезка). Пусть \( BC = x \). Тогда \( AB \) — линия сгиба.

Пусть исходная вершина — \( V_1 \). Она перемещается в точку \( V_2 \). Линия сгиба проходит через соседнюю вершину \( V_3 \).

Пусть ширина прямоугольника равна \( w \) и высота равна \( h \). Согнули так, что верхняя левая вершина совпала с серединой нижней стороны. Высота \( h \), ширина \( w \). Середина нижней стороны находится на расстоянии \( w/2 \) от углов. Линия сгиба проходит через верхний правый угол.

Обозначим вершины как на рисунке: \( A \) - точка, куда переместилась верхняя вершина. \( B \) - соседняя вершина, через которую проходит линия сгиба. \( C \) - точка на нижней стороне, на расстоянии \( BC \) от \( B \) (которая соответствует нижней правой вершине).

Пусть \( BC = x \). По условию, \( A \) — середина стороны, которая была внизу. Пусть длина этой стороны была \( 2x \). То есть, \( C \) — это конец этой стороны, а \( B \) — другая вершина, такая, что \( CB = x \) и \( A \) — середина стороны, которая содержит \( C \).

На рисунке видно, что нижняя сторона разделена на три равные части. Пусть длина одного такого отрезка равна \( a \). Тогда \( BC = a \). Линия сгиба проходит через \( B \). Вершина (верхняя левая) переместилась в точку \( A \). \( A \) является серединой нижней стороны.

Пусть \( BC = a \). Тогда \( AB \) — высота прямоугольника. \( AC = 2a \) (так как \( A \) — середина нижней стороны, которая состоит из трех отрезков по \( a \), и \( C \) — крайняя правая точка, а \( B \) — точка, через которую проходит линия сгиба, и \( B \) находится на нижней стороне). Таким образом, \( B \) — это точка, которая соответствует нижней правой вершине.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \) (из рисунка, \( A \) - середина, \( C \) - правый край, \( BC = x \)).

Пусть \( AB = y \). В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)

\( y^2 + x^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x √{3} \).

Это высота прямоугольника.

Теперь рассмотрим линию сгиба. Линия сгиба — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему исходное положение вершины и её конечное положение. Пусть исходная вершина — \( P \) (верхний левый угол). Конечное положение — \( A \) (середина нижней стороны). Пусть \( Q \) — верхний правый угол, \( R \) — нижний левый, \( S \) — нижний правый.

\( P = (0, y) \), \( Q = (2x, y) \), \( R = (0, 0) \), \( S = (2x, 0) \). \( A = (x, 0) \).

Линия сгиба проходит через \( Q = (2x, y) \). Линия сгиба — серединный перпендикуляр к \( PA \).

Середина \( PA \) = \( ( (0+x)/2, (y+0)/2 ) = (x/2, y/2) \).

Вектор \( →{PA} = (x - 0, 0 - y) = (x, -y) \).

Уравнение линии сгиба: \( x(X - x/2) - y(Y - y/2) = 0 \)

\( xX - x^2/2 - yY + y^2/2 = 0 \).

Точка \( Q = (2x, y) \) лежит на этой линии:

\( x(2x) - x^2/2 - y(y) + y^2/2 = 0 \)

\( 2x^2 - x^2/2 - y^2 + y^2/2 = 0 \)

\( 3x^2/2 - y^2/2 = 0 \)

\( 3x^2 = y^2 \)

\( y = x √{3} \).

Мы нашли соотношение между сторонами прямоугольника. \( AB = y = x √{3} \) и \( BC = x \).

Отношение \( AC : BC \) — это отношение сторон треугольника \( ABC \).

\( AC = 2x \), \( BC = x \), \( AB = x √{3} \).

Нам нужно найти отношение \( AC : BC \), где \( AC \) и \( BC \) — это стороны, обозначенные на рисунке. \( BC \) — это отрезок на нижней стороне. \( AC \) — это отрезок, соединяющий \( A \) и \( C \). \( C \) — это точка, соответствующая нижней правой вершине, \( B \) — это соседняя вершина, через которую проходит линия сгиба.

Вернемся к условию: «вершина совпала с серединой противоположной стороны, а линия сгиба прошла через соседнюю вершину».

Пусть стороны прямоугольника \( w \) и \( h \). Пусть \( h \) — высота, \( w \) — ширина. Вершина (верхняя левая) совпадает с серединой нижней стороны. Пусть нижняя сторона равна \( 2x \), тогда её середина на расстоянии \( x \) от краев. Высота \( h = y \). Линия сгиба проходит через верхний правый угол.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \) (из рисунка). \( AB = y \).

При сгибе, вершина \( P \) (верхний левый) перемещается в точку \( A \) (середина нижней стороны, \( AC=2x \), \( BC=x \)). Линия сгиба проходит через \( B \) (верхний правый угол).

\( P=(0, y) \), \( Q=(2x, y) \), \( R=(0, 0) \), \( S=(2x, 0) \). \( A=(x, 0) \).

Линия сгиба проходит через \( Q=(2x, y) \). \( Q \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

\( QP^2 = (2x - 0)^2 + (y - y)^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

\( QA^2 = (2x - x)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2 \)

\( QP^2 = QA^2 \)

\( 4x^2 = x^2 + y^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x √{3} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \) на рисунке. \( C \) — нижняя правая вершина, \( B \) — верхняя правая вершина. \( BC \) — это высота \( y = x √{3} \). \( AC \) — это нижняя сторона \( 2x \).

Мы ищем отношение \( AC : BC \).

\( AC = 2x \)

\( BC = y = x √{3} \).

\( AC : BC = 2x : x √{3} = 2 : √{3} \).

Проверим, соответствует ли это рисунку. Нижняя сторона разделена на 3 части. \( BC \) — это одна часть. \( AC \) — это две части. То есть \( AC = 2 BC \) если \( B \) — точка на нижней стороне.

Перечитаем условие: «вершина совпала с серединой противоположной стороны, а линия сгиба прошла через соседнюю вершину».

Пусть прямоугольник \( PQRS \), где \( P \) — верхний левый, \( Q \) — верхний правый, \( R \) — нижний левый, \( S \) — нижний правый.

Вершина \( P \) совпадает с серединой \( RS \), назовем эту точку \( M \). \( RM = MS = w/2 \).

Линия сгиба проходит через соседнюю вершину. Возможны две соседние вершины: \( Q \) или \( R \).

Случай 1: Линия сгиба проходит через \( Q \). \( P \) перемещается в \( M \). \( Q \) равноудалена от \( P \) и \( M \).

Пусть \( PQ = h \), \( PS = w \). Тогда \( M = (w/2, 0) \) (если \( R = (0,0) \)). \( P = (0, h) \), \( Q = (w, h) \).

\( QP^2 = (w-0)^2 + (h-h)^2 = w^2 \).

\( QM^2 = (w - w/2)^2 + (h - 0)^2 = (w/2)^2 + h^2 = w^2/4 + h^2 \).

\( w^2 = w^2/4 + h^2 \)

\( 3w^2/4 = h^2 \)

\( h = \frac{√{3}}{2} w \).

Теперь посмотрим на рисунок. \( A \) — это точка \( M \) (середина нижней стороны). \( C \) — нижняя правая вершина ( \( S \) ). \( B \) — верхняя правая вершина ( \( Q \) ).

\( BC \) — это высота \( h = \frac{√{3}}{2} w \).

\( AC \) — это нижняя сторона \( w \).

Отношение \( AC : BC = w : \frac{√{3}}{2} w = 1 : \frac{√{3}}{2} = 2 : √{3} \).

Случай 2: Линия сгиба проходит через \( R \). \( P \) перемещается в \( M \). \( R \) равноудалена от \( P \) и \( M \).

\( RP^2 = (0-0)^2 + (h-0)^2 = h^2 \).

\( RM^2 = (w/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = (w/2)^2 = w^2/4 \).

\( h^2 = w^2/4 \)

\( h = w/2 \).

Если \( h = w/2 \), то \( BC = w/2 \) и \( AC = w \). Отношение \( AC : BC = w : w/2 = 2 : 1 \).

На рисунке нижняя сторона разделена на 3 равные части. \( BC \) — это одна часть. \( AC \) — это две части. Это соответствует случаю, когда \( AC = 2 BC \). Следовательно, \( AC : BC = 2 : 1 \).

В этом случае, \( h = w/2 \). \( BC = h = w/2 \). \( AC = w \).

Следовательно, \( AC : BC = w : (w/2) = 2 : 1 \).

Проверим, что линия сгиба проходит через \( R \).

\( R=(0,0) \), \( P=(0, h) \), \( M=(w/2, 0) \). \( R \) равноудалена от \( P \) и \( M \) если \( RP = RM \).

\( RP = h \)

\( RM = w/2 \)

Значит, \( h = w/2 \).

Вернемся к рисунку. \( A \) — середина нижнего отрезка. \( C \) — конец этого отрезка. \( BC \) — отрезок на нижней стороне. \( AC \) — нижняя сторона. \( AC = 2 BC \) по рисунку.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \).

Пусть \( AB = y \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \): \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)

\( y^2 + x^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x √{3} \).

Высота = \( x √{3} \). Ширина = \( 2x \).

Теперь учтем условие сгиба. Верхняя левая вершина (назовем её \( P \)) переместилась в \( A \) (середина нижней стороны). Линия сгиба проходит через \( B \) (верхний правый угол).

\( P = (0, y) \), \( A = (x, 0) \), \( B = (2x, y) \).

\( B \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

\( BP^2 = (2x - 0)^2 + (y - y)^2 = (2x)^2 = 4x^2 \).

\( BA^2 = (2x - x)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2 \).

\( BP^2 = BA^2 \)

\( 4x^2 = x^2 + y^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x √{3} \).

Это соответствует нашим расчетам для сторон. \( AB = y = x √{3} \) (высота) и \( AC = 2x \) (ширина).

\( BC \) на рисунке — это ширина, равная \( 2x \). \( AC \) на рисунке — это нижняя сторона, равная \( 2x \).

В контексте задачи \( AC \) и \( BC \) — это стороны треугольника, образованного линией сгиба и вершинами.

На рисунке \( A \) — это точка, куда переместилась вершина. \( B \) — соседняя вершина, через которую проходит линия сгиба. \( C \) — точка на нижней стороне, которая является концом нижней стороны.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \) (из рисунка).

Пусть \( AB = y \).

При сгибе, вершина \( V \) перемещается в \( A \). Линия сгиба проходит через \( B \). \( B \) равноудалена от \( V \) и \( A \).

\( VB = AB = y \).

\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)

\( y^2 + x^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x√{3} \).

У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с катетами \( AB = x√{3} \) и \( BC = x \), и гипотенузой \( AC = 2x \).

Условие: вершина совпала с серединой противоположной стороны. Пусть исходная вершина — \( P \), она совпала с \( A \). \( A \) — середина нижней стороны. Пусть нижняя сторона имеет длину \( 2 √{3}a \), тогда \( AC = 2 √{3}a \) и \( BC = √{3}a \).

Линия сгиба проходит через \( B \). \( B \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

Пусть \( BC = x \). На рисунке \( AC = 2x \). \( AB = y \).

\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) => \( y^2 + x^2 = (2x)^2 \) => \( y^2 = 3x^2 \) => \( y = x√{3} \).

Исходная вершина \( P \) совпала с \( A \). \( A \) - середина нижней стороны. Пусть ширина нижнего ряда = \( W \), высота = \( H \).

\( P \) (верхний левый) переместился в \( A \) (середина нижней стороны). \( A \) находится на расстоянии \( W/2 \) от левого края. \( C \) — нижний правый угол. \( BC = W/2 \).

Линия сгиба проходит через \( B \) (верхний правый угол). \( B \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

\( PB = H \). \( AB^2 = (W - W/2)^2 + (H - 0)^2 = (W/2)^2 + H^2 \).

\( PB^2 = AB^2 \)

\( H^2 = (W/2)^2 + H^2 \)

\( 0 = (W/2)^2 \)

\( W = 0 \). Это неверно.

На рисунке \( A, B, C \) — точки. \( BC \) — один сегмент. \( AC \) — два сегмента. \( AB \) — высота.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \).

Пусть \( AB = y \). Тогда \( y^2 + x^2 = (2x)^2 \) => \( y^2 = 3x^2 \) => \( y = x√{3} \).

Исходная вершина \( V \) переместилась в \( A \). Линия сгиба прошла через \( B \).

\( V \) находится на расстоянии \( y \) от \( C \) (если \( V \) — верхний левый, \( C \) — нижний левый).

Пусть \( BC = a \). Тогда \( AC = 2a \). \( AB = a√{3} \).

Вершина \( P \) (верхний левый) переместилась в \( A \) (середина нижней стороны). \( BC \) — это ширина, \( AC = 2BC \) — это нижняя сторона.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AC = 2x \).

Линия сгиба проходит через \( B \). \( B \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

\( P = (0, H) \), \( A = (x, 0) \), \( B = (2x, H) \). \( BC = x \).

\( PB^2 = (2x - 0)^2 + (H - H)^2 = 4x^2 \).

\( AB^2 = (2x - x)^2 + (H - 0)^2 = x^2 + H^2 \).

\( PB^2 = AB^2 \)

\( 4x^2 = x^2 + H^2 \)

\( H^2 = 3x^2 \)

\( H = x√{3} \).

Итак, \( BC = x \) (это ширина \( W \) = \( x \)). \( H = x√{3} \) (это высота). \( AC = 2x \).

На рисунке \( C \) — нижний правый угол. \( B \) — верхний правый угол. \( A \) — середина нижней стороны. \( BC \) — это расстояние от \( B \) до \( C \). \( AC \) — расстояние от \( A \) до \( C \).

\( BC = H = x√{3} \).

\( AC = W = 2x \).

Отношение \( AC : BC = 2x : x√{3} = 2 : √{3} \).

Взглянем на рисунок еще раз. \( C \) — точка на нижней стороне. \( BC \) — отрезок на нижней стороне. \( A \) — точка на нижней стороне. \( AC \) — отрезок на нижней стороне.

Пусть \( BC = x \). \( AC = 2x \) (из рисунка).

Пусть \( AB = y \) (высота).

Линия сгиба проходит через \( B \). Исходная вершина \( P \) (верхний левый) переместилась в \( A \).

\( P \) находится на расстоянии \( y \) выше \( C \).

\( P = (0, y) \), \( A = (x, 0) \), \( C = (2x, 0) \), \( B = (2x, y) \).

\( B \) равноудалена от \( P \) и \( A \).

\( PB^2 = (2x - 0)^2 + (y - y)^2 = 4x^2 \).

\( AB^2 = (2x - x)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2 \).

\( PB^2 = AB^2 \)

\( 4x^2 = x^2 + y^2 \)

\( y^2 = 3x^2 \)

\( y = x √{3} \).

То есть, \( AB = x√{3} \), \( BC = x \), \( AC = 2x \).

Нам нужно найти отношение \( AC : BC \).

\( AC : BC = 2x : x = 2 : 1 \).

Ответ: 2 : 1.